《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第八章 多元函数微分法及其应用 8-3 全微分及其应用

可微的条件定理1（必要条件）如果函数z=f(x,J)在点Oz(x,y)可微分，则该函数在点(x,J)的偏导数axaz必存在，且函数z= f(x,)在点(x,y)的全微分一为OzOz.dz =Ax +Ayaxay经济数学微积分

定 理 1（必要条件） 如果函数 z = f (x, y)在 点 (x, y)可微分，则该函数在点(x, y)的偏导数 x z   、 y z   必存在，且函数z = f (x, y)在 点(x, y)的全微分 为 y y z x x z z     +   d = ． 可微的条件

证 如果函数z= f(x,J)在点P(x,y)可微分对点P的某个邻域内的任意一点P'(x+△x,y+Ay), 下式总成立，△z = A△x + B△y + o(p)当△y=0时，上式仍成立，此时p=△xl,f(x+△x, y)- f(x, y) = A.Ar + o(I△x DOzf(x + △x,y)- f(x,y)limaxAxAr-→0az同理可得B=ayL微积分经济数学

证 如果函数z = f (x, y)在点P(x, y)可微分, 对 点 P 的 某 个 邻 域 内 的 任 意 一 点 P(x + x, y + y)，下式 z = Ax + By + o() 总成立, 当y = 0时，上式仍成立，此时 =| x |, f (x + x, y) − f (x, y) = A x + o(| x |), A x f x x y f x y x =  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 , x z   = 同理可得 . y z B   =

微分存在。一元函数在某点的导数存在V7多元函数的各偏导数存在全微分存在，xyx2+y±0例如，f(x,J)=x2+0x2 + y2 = 0在点(0,0)处有fx(0,0) = f,(0,0) = 0经济数学微积分

一元函数在某点的导数存在 微分存在． 多元函数的各偏导数存在 全微分存在． 例如， . 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2      + = +  = + x y x y x y xy f x y 在点(0,0)处有 (0,0) = (0,0) = 0 x y f f

Ax · AyAz -[f(0,0) · △x + f,(0,0) · Ay]=V(Ax)~ +(Ay)?如果考虑点P'(△x,△Ay)沿着直线y=x趋近于(0,0)Ax · AyAx . Ax1则 (Ar)'+(Ay)?2-2'(Ax)° +(Ax)?p说明它不能随着p→0而趋于0，当 p→0时，Az -[f (0,0) . △x + f,(0,0) · Ayl ± o(p),函数在点(0,0)处不可微化经济数学微积分

z [ f (0,0) x f (0,0) y]  − x   + y   , ( ) ( ) 2 2 x y x y  +     = 如果考虑点P(x,y)沿着直线y = x趋近于(0,0)， 则  2 2 ( x) ( y) x y  +     2 2 ( x) ( x) x x  +     = , 21 = 说明它不能随着 → 0而趋于 0, 当  → 0 时， z [ f (0,0) x f (0,0) y] o( ),  − x   + y    函数在点(0,0)处不可微

说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，定理2（充分条件）如果函数z=f(x,)的偏Oz.Oz.导数在点(x,J)连续，则该函数在点(x,y)axay可微分，证 △z= f(x+Ax,y+Ay)- f(x,y)=[f(x+Ax, y+Ay)- f(x, y+ Ay)+[f(x, y+Ay)- f(x,y)]2经济数学微积分

说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在， 定理２（充分条件） 如果函数z = f ( x, y)的偏 导数 x z   、 y z   在点(x, y)连续，则该函数在点(x, y) 可微分． 证 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) = [ f (x + x, y + y) − f (x, y + y)] + [ f (x, y + y) − f (x, y)]