> 总结 (1) 二元函数f(x,y在P(xo,Jy)沿方向1（方向角为&，） 的方向导数为 of lim f(x+tcosa,yo+tcosB)-f(xo,Yo) al (xo,yo) t→0 (2) 三元函数f(x,y,z)在P,(x,J,)沿方向1的方向导数 of lim f(xo+tcosa,yo+tcosB,to+tcosy)-f(xo,yo,Zo) al (xo,yo,) t 单侧极限 分子：射线上两点函数值之差 (3)定义式的特点 比式 分母：射线上两点的距离 实质：函数在方向上的变化率
t f x t y t z t f x y z t ( cos , cos , cos ) ( , , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 + + + − = → + ( , , ) 0 0 0 l x y z f ➢ 总结 二元函数 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 0 P x y 沿方向l (方向角为 , ) 的方向导数为 t f x t y t f x y t ( cos , cos ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 + + − = → + ( , ) 0 0 l x y f (1) (2) 三元函数 f (x, y,z) 在 ( , , ) 0 0 0 0 P x y z 沿方向 l 的方向导数 (3) 单侧极限 定义式的特点 比式 分子: 射线l上两点函数值之差 分母: 射线l上两点的距离 实质：函数在方向l上的变化率
定理如果函数f化，y)在点P0(x0,y0可微分，那么函数在 该点沿任一方向1的方向导数存在，且有 af a\(xo) =fx(xoYo)cosa+fy(xo,o)cosB 其中cosa,cosB是方向l的方向余弦， 定理推广：若函数f(x,y,)在点P(x,y,)处可微， 则函数在该点沿任意方向1的方向导数存在，且有 f_∂ cosa+- 其中a,B,y为1的方向角. HIGH EDUCATION PRESS
定理 如果函数 f (x,y)在点 可微分，那么函数在 该点沿任一方向 l 的方向导数存在，且有 其中 cos, cos 是方向 l 的方向余弦. ( , ) 0 0 0 P x y ( , )cos ( , )cos (2) 0 0 0 0 ( , ) 0 0 f x y f x y l f x y x y = + 定理推广: 若函数 f (x, y,z) 在点 P(x, y,z) 处可微 , 则函数在该点沿任意方向l 的方向导数存在 , cos cos cos z f y f x f l f + + = 且有
例1.求函数z=xe2y在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到 点Q(2,-1)的方向的方向导数 解：方向1即向量P式=L,-1的方向， 与1同向的单位向量 (322 0x(L,0) =1 (1,0) 2xe2x 02 所求方向导数为 1.1 √2 alla.o) *2(2 2 HIGH EDUCATION PRESS
例1. 求函数 在点 P (1,0) 处沿从点 P (1,0) 到 点Q (2,−1) 的方向的方向导数. y z x 2 = e = (1,0) y z 2 e 2, (1,0) 2 = y x 解: 方向 l 即向量 的方向， 与 l 同向的单位向量 . 2 1 , 2 1 el = − PQ = (1,−1) 2 2 ) 2 1 2 ( 2 1 1 (1,0) = + − = − l z 所求方向导数为 = (1,0) x z 因为函数可微分，且 e 1, (1,0) 2 = y
例2.求函数1=x2yz在点P(1,1,1)沿向量7=(2，-1， 3)的方向导数 解：向量7的方向余弦为 2 3 cosa= cosy= 14 8-(a:+yi01》 /14 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 的方向导数 . = l P u 14 2 2xyz + 14 2 3 x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 向量 l 的方向余弦为