7x也是奇数，并且和，奇偶性相反；当是奇数时，222弱x-y2和都是奇数，并且24+1=7？；否则，227“格子强·义2*+1= 7?42.证明：把33个正整数表示成n=23*5%7"11(k=1,2,L,33)，其中a、bC、d、e都是非负整数（k=12L,33）；对于这33个有序五元组(a,b,C,ds,er），从每个分量的奇偶性上看，共有32种不同的情况，所以，这33个有序五元组中必有两个，各个分量奇偶性对应相同，不妨设(a,b,c,d,e)和(az,bcz,dz,e)是这样两个有序五元组，则(a+az,b +ba,G+c,d+dze+e)=(2s,2s,2s,2sg,2s),其中s? N(i 1234,5),故nn=22"3527112是完全平方数。43.证明：（1）由于(x2+3y)+(3x+y)(x+2)+(y+2)，可得x2+3y<(x+2)与3x+2<(y+2)至少有一个成立，不妨设x2+3y<(x+2)，则有x2<x2+3y<(x+2)，所以完全平方数×2+3y=(x+1)，3y=2x+1，y是奇数，记y=2k+1(k?N)，则×=3k+1,完全平方数3x+ y2=3(3k+1)+(2k+1)=4k2+13k+4;但当k36时，（2k+3)<4k+13k+4<(2k+4)，这时3x+y=4k2+13k+4不是完全平方数；当k=12,3,4时，4k2+13k+4=2146,79,120都不是完全平方数；当k=0时，x+3y=3x+J2=4；当k=5时，有3x+y2=4k2+13k+4=169=132以及×x2+3y=17。解方程组3x+只=1692+ 3y-289，得()-(161)或(11)。综上所述，满足条件的正整数对(x,y)=(1,1)(11,16)(16,11)。（2）假设存在xyiN，使得x+y+1与+4x+3都是完全平方数，则x2+y+1?(x1)以及y2+4x+3?(y1)。16
16 和 奇偶性相反；当 是奇数时， 也是奇数，并且 ；否则， 和 都 是 奇 数 ， 并 且 。 42. 证明：把 33 个正整数表示成 ，其中 都是非负整数（ ）；对于这 33 个 有 序 五 元 组 ，从每个分量的奇偶性上看，共有 32 种不同的情况，所以，这 33 个有序五元组中必有两个，各个分量奇偶性对应相同，不妨设 和 是这样两个有序五元组，则 ，其中 ， 故 是完全平方数。 43.证明：（1）由于 ，可得 与 至少有一个成立，不妨设 ，则有 ，所以完全平方数 ， ， 是奇数，记 ，则 ，完全平方数 ； 但当 时， ，这时 不是完全 平方数；当 时， 都不是完全平方数；当 时， ；当 时，有 以及 。 解方程组 ，得 或 。 综上所述，满足条件的正整数对 。 （2）假设存在 ，使得 与 都是完 全平 方 数 ， 则 以及 。 \ 2 x y + 2 x y - 2 x y + 7 2 x y - 2 2 1 7 2 7 2 2 k+ = ? 骣 骣 珑珑珑桫 桫 x y x y + - 鼢鼢鼢 2 x y - 7 2 x y + 2 2 1 7 2 7 2 2 k+ = ? 骣 骣 珑珑珑桫 桫 x y x y - + 鼢鼢鼢 2 3 5 7 11 1, 2, ,33 ( ) k k k k k a b c d e k n k = = L k k k k k a b c d e 、 、 、 、 k = 1,2, ,33 L ( , , , , ) k k k k k a b c d e ( ) 1 1 1 1 1 a b c d e , , , , ( ) 2 2 2 2 2 a b c d e , , , , ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 5 a a b b c c d d e e s s s s s + + + + + = , , , , 2 ,2 ,2 ,2 ,2 ( 1,2,3,4,5) i s N i ? 1 2 4 3 5 2 2 2 2 2 1 2 2 3 5 7 11 s s s s s n n = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x y x y x y + + + < + + + 3 3 2 2 ( ) 2 2 x y x + < + 3 2 ( ) 2 2 3 2 x y y + < + ( ) 2 2 x y x + < + 3 2 ( ) 2 2 2 x x y x < + < + 3 2 ( ) 2 2 x y x + = + 3 1 3 2 1 y x = + y y k k N = + ? 2 1( ) x k = + 3 1 ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 1 2 1 4 13 4 x y k k k k + = + + + = + + k ³ 6 ( ) ( ) 2 2 2 2 3 4 13 4 2 4 k k k k + < + + < + 2 2 3 4 13 4 x y k k + = + + k = 1,2,3,4 2 4 13 4 21, 46,79,120 k k + + = k = 0 2 2 x y x y + = + = 3 3 4 k = 5 2 2 2 3 4 13 4 169 13 x y k k + = + + = = 2 2 x y + = 3 17 2 2 3 169 3 289 x y x y ìï + = ï í ï ï + = î (x y, 16,11 )= ( ) (11,16) (x y, 1,1 11,16 16,11 )= ( )、 、 ( ) ( ) * x y N 、 Î 2 x y + + 1 2 y x + + 4 3 ( ) 2 2 x y x + + ? 1 1 ( ) 2 2 y x y + + ? 4 3 1
Q(x2+ y+ 1)+ (y2+ 4x+ 3)<(x+ 2) + (y+ 1),1完全平方数x+y+1=(x+1)，y=2x；但此时y2+4x+3=4x2+4x+3?3(mod4)，这样y2+4x+3不是完全平方数。综上所述，不存在使x+y+1与y2+4x+3都是完全平方数的整整数对(,J)。44.证明：取勾股数(3,4,5)，记=3，z=4，则S=33，S,=+=52=(1+a），如果a,a,L,a都已安排好，且S,=(I+a)(I#kn），取ai，使得S.= S,+ d=(+ m), 则(1+a,)+ d,=(+ am), 即am-(+a)。2定义数列(a,:4=3.0,=4.a.-(±(m? 3),则S,- d 总是完全平方数。2证明：S=α是完全平方数；S,=+=33+42=5=(1+）是完全平方数；假设当n=k?2时，总有S,=α+α+L+=(1+a），则S+= S+ + aa+=(1+ a,)+ d+= 1+ 2a + d + d+= 1+ 2ax+1+ d+= (1+ ax+) 故Sk+=(1+ak+）也是完全平方数。由数学归纳法，可知S,=aα总是完全平方数。=45.解：按题意，存在mlN2，使得122+2"=m2，即（m+12)m-12)=2"，明显组m+12=2°m>13，存在a、biN，且a>b?1，使得m12-2%，消去m，得2*-2*=24，即2(21)-2°?3，亦即=3，所求正整数n=8，唯一。2fa=5'46.解：存在miN，满足n?2*11=m2，即(m+1)(m-1)=n?2,容易知道n24，这样m=2k+1(k?N")，n?2"3k(k+1)，必有kn，或k+1|n，所以n3k，且2"3？k，从而2"3?n1。容易证明：2*3>n+l"n？6。17
17 ， 完全平方数 ， ；但此时 ，这样 不是完全平方数。 综上所述，不存在使 与 都是完全平方数的整整数对 。 44.证明：取勾股数 ，记 ， ，则 ， ， 如 果 都已安排好，且 ， 取 ，使得 ，则 ，即 。 定义数列 ，则 总是完全平方数。 证明： 是完全平方数； 是完全平方数； 假设当 时，总有 ，则 ， 故 也是完全平方数。 由数学归纳法，可知 总是完全平方数。 45.解：按题意，存在 ，使得 ，即 ，明显 ，存在 ，且 ，使得 ，消去 ，得 ， 即 ，亦即 ，所求正整数 ，唯一。 46.解：存在 ，满足 ，即 ，容易知道 ， 这样 ， ，必有 ，或 ，所以 ，且 ，从而 。 容易证明： 。 Q ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x y y x x y + + + + + < + + + 1 4 3 2 1 \ ( ) 2 2 x y x + + = + 1 1 y x = 2 ( ) 2 2 y x x x + + = + + ? 4 3 4 4 3 3 mod 4 2 y x + + 4 3 2 x y + + 1 2 y x + + 4 3 (x y, ) (3, 4,5) 1 a = 3 2 a = 4 2 1 S = 3 ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 S a a a = + = = + 5 1 1 2 , , , n a a a L ( ) ( ) 2 1 1 k k S a k n = + ＃ * n 1 a N + Î ( ) 2 2 1 1 1 1 n n n n S S a a + + + = + = + ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 n n n a a a + + = + + + ( ) 1 2 2 n n n a a a + + = { } ( ) ( ) 1 2 1 2 : 3, 4, 3 2 n n n n a a a a a a n + + = = = ? 2 1 n n i i S a = = å 2 1 1 S a = ( ) 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 S a a a = + = + = = + 3 4 5 1 n k = ? 2 ( ) 2 2 2 2 1 2 1 k k k S a a a a = + + + = + L ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 k k k k k k k k k k k S S a a a a a a a a a + + + + + + + = + = + + = + + + = + + = + ( ) 2 1 1 1 k k S a + + = + 2 1 n n i i S a = = å * m N Î 2 2 12 2n + = m ( 12 12 2 )( ) n m m + - = m > 13 * a b N 、 Î a b > ? 1 12 2 12 2 a b m m ìï + = ï í ï ï - = î m 2 2 24 a b - = ( ) 3 2 2 1 2 3 b a b - - = ? 3 5 b a ìï = ï í ï = ïî n = 8 * m N Î 1 2 2 1 n n m - ? = ( )( ) 1 1 1 2n m m n - + - = ? n ³ 4 ( ) * m k k N = + ? 2 1 ( ) 3 2 1 n n k k - ? + kn k n + 1 n k ³ 3 2 1 n k - ? 3 2 1 n n - ? 3 2 1, 6 n n n - > + " ?
当n=4时，4?231=33不是完全平方数当n=5时，5?241=81=92。故所求正整数n=5，唯一。1100a+b=m47.解：记[20a+b=(mni N),则10a=n-m=(n-m) m)。101是素数，而且nm<100，Q1101n+m，只能是n+m=101，α=n-m=2n-101故201(2n-101)+b=n2,n2-402n+20301=b?(9,100)，(201-n)=20100+b?(20110,20200)20100+b=142°，b=64，n=59，m=42，a=17。故满足题设的正整数对(a,b)=(17,64)。48.解：恒等式36n22(6n21)2(3n21)(2n21)=(36n*+18n2+1)-1否定满足题设的正整数n。49.解：由（2）得(p+p)(ppa)=224412攀7，所以p+p与p+p必有一个奇数。这只能是p,=2，奇数2+p441。由+<+,可得2+882<30,2823,2+?(7,9,21)，p,1 (5,7,19) 。若p=5，则p=3，但这时p,=123不时素数，无解。若p=7，则p,1 (3.5)，且p+P,=82=98，必有(p,Ps,P,P)=(23,7,95),或(p,P2,PP)=(2,5,7,93)，都不是素数解，无解。若P=19，则P+p=8翌2=42，由2<p<19<P，得以下三解：21(P,P2,Ps,P)=(2,5,19,37)，或(2,11,19,31)，或(2,13,19,29)。综上所述，满足题设的素数四元组(p,Pz,Ps,P）共有3解：（2,5,19,37)、(2,11,19，29)、（2,13,19,29)。50.解：一般化，对正整数n35，令α=in!1(i=1,2L，n)，则对1？ij?n，有a,+a,=(i+j)?n!2是大于2的偶数，是合数。18
18 当 时， 不是完全平方数； 当 时， 。 故 所求正整数 ，唯一。 47.解：记 ，则 。 101 是素数，而且 ， ，只能是 ， ， 故 ， ， ， ， ， ， ， 。 故 满足题设的正整数对 。 48.解：恒等式 否定满足题 设的正整数 。 49.解：由（2）得 ，所以 与 必 有一个奇数。这只能是 ，奇数 。 由 ，可得 ， ， ， ， 。 若 ，则 ，但这时 不时素数，无解。 若 ，则 ，且 ，必有 ， 或 ，都不是素数解，无解。 若 ， 则 ， 由 ， 得 以 下 三 解 ： ，或 ，或 。 综上所述，满足题设的素数四元组 共有 3 解：（2,5,19,37）、 （2,11,19，29）、（2,13,19,29）。 50.解：一般化，对正整数 ，令 ，则 对 ，有 是大于 2 的偶数，是合数。 n = 4 3 4 2 1 33 ? = n = 5 4 2 5 2 1 81 9 ? = = n = 5 ( ) 2 * 2 100 201 a b m m n N a b n ìï + = ï í Î ï ï + = î 、 ( ) ( ) 2 2 101a n m n m n m = - = - ? Q n m 、 < 100 \ 101 n m + n m + = 101 a n m n = - = - 2 101 ( ) 2 201 2 101 n b n - + = ( ) 2 n n b - + = ? 402 20301 9,100 ( ) ( ) 2 201 20100 20110, 20200 - = + ? n b 2 20100 142 + =b b = 64 n = 59 m = 42 a = 17 (a b, 17,64 )= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 2 36 6 1 3 1 2 1 36 18 1 1 n n n n n n ? ? ? = + + - n ( ) ( ) 2 2 1 3 2 4 p p p p + ? = ? 2 441 2 3 7 鬃 1 3 p p + 2 4 p p + 1 p = 2 3 2 441 + p 1 3 2 4 p p p p + < + 3 2 882 30 + < < p 3 p < 28 3 p £ 23 2 7,9,21 + ? p3 { } p3 Î {5,7,19} 3 p = 5 2 p = 3 4 p = 123 3 p = 7 p2 Î {3,5} 2 4 882 98 9 p p + = = ( ) ( ) 1 2 3 4 p p p p , , , 2,3,7,95 = ( ) ( ) 1 2 3 4 p p p p , , , 2,5,7,93 = 3 p = 19 2 4 882 42 21 p p + = = 2 4 2 19 < < < p p ( ) ( ) 1 2 3 4 p p p p , , , 2,5,19,37 = (2,11,19,31) (2,13,19,29) ( ) 1 2 3 4 p p p p , , , n ³ 5 ! 1 1,2, , ( ) i a i n i n = ? = L 1? ? i j n ( ) ! 2 i j a a i j n + = + ?
若存在1?ij？n，使得(aa)=d>1，记a=pd，a,=qd，其中正整数p、q互素，所以(i-j)n!=(p-q)d，d(i-j)n!，但由da知d不是n!的因子，矛盾。综上所述，我们以构造出n个两两互诉的正整数，并且其中任意两个之和为合数。51．证明：按题意，（p,PasPs,Pa,Ps,L)=(2,3,5,7,1L），从而(s,5,,54,ss,L)-(2,5,10,17,28,41,L),有4i [2,5], 91 [5,10], 16] [10,17], 25 [7,28]。对正整数n25，要证存在完全平方数mis+1，只需证/s-s？1，即证s+？2/，+1，亦即Pa1? 2/p p +L + p, +1, (pa+1- 1)- 4(p+ p, + L + p.)? 0 。记D(n+1)=(p+1- 1)- 4(p+ P, + L + p,), 则D(n+ 1)- D(n)=(Ph+1- P.)(Ph+I+ P.- 2)- 4p.? 2(p+1 Ph- 2)- 4p,= 2(ph+1- Pu- 2)? 0 ,D(n)(n+ 1), 而D(5)=(11- 1)- 4(2+ 3+ 5+ 7)=100- 68> 0,1故对一切正整数n35，都有s+1-,？1。综上所述，命题成立。52.解：当n=2时，2创B4?523创B5恰好有3个不同的素因子。当n=3时，3创45？623创B25恰好有3个不同的素因子。当n34时，只可能是(nn+1n+2n+3)=(3°,2°,p,2?3")，或(23,p,23)前者无解，后者解出n=6。综上所述，n=2,36。53.解：（一）化简表示明显2/b，记b=2e，则p=号：记(ac)-d，则存在m、niN"，且(mn)=1,,使得ja=md-(学)：记(m+ m-n)=d,则/2m且/2n-有(2m2)，即/2；又存在h、ki"，且(ak)-1，使得""=K，m+n=d'h，消去m，19
19 若存在 ，使得 ，记 ， ，其中正整数 互素，所以 ， ，但由 知 不是 的因子，矛盾。 综上所述，我们以构造出 个两两互诉的正整数，并且其中任意两个之和为 合数。 51. 证明：按题意， ， 从 而 ， 有 ， ， ， 。 对正整数 ，要证存在完全平方数 ，只需证 ，即 证 ，亦即 ， 。 记 ，则 ， ，而 , 故 对一切正整数 ，都有 。 综上所述，命题成立。 52.解：当 时， 恰好有 3 个不同的素因子。 当 时， 恰好有 3 个不同的素因子。 当 时，只可能是 ，或 ， 前者无解，后者解出 。 综上所述， 。 53.解：（一）化简表示 明显 ，记 ，则 ；记 ，则存在 ，且 ，使得 ， ；记 ，则 ，且 ， 有 ，即 ；又存在 ，且 ，使得 ，消去 ， 1? ? i j n (a a d i j , 1 )= > i a pd = j a qd = p q 、 (i j n p q d - = - ) ! ( ) d i j n ( - ) ! i d a d n! n ( ) ( ) 1 2 3 4 5 p p p p p , , , , , 2,3,5,7,11, L L = ( ) ( ) 1 2 3 4 5 s s s s s , , , , , 2,5,10,17,28,41, L L = 4 2,5 Î [ ] 9 5,10 Î [ ] 16 10,17 Î [ ] 25 17,28 Î [ ] n ³ 5 2 1 , m s s 轾 n n+ Î 臌 1 1 n n s s + - ? 1 2 1 n n n s s s + ? + 1 1 2 2 1 n n p p p p + ? + + + L ( ) ( ) 2 1 1 2 1 4 0 n n p p p p + - - + + + ? L ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 1 4 n n n p p p p D + = - - + + + + L D + - D = - + - - (n n p p p p p 1 2 4 ) ( ) ( n n n n n + + 1 1 )( ) ? - - = - - ? 2 2 4 2 2 0 (p p p p p n n n n n + + 1 1 ) ( ) \ (n n ) ( 1) ( ) ( ) ( ) 2 D = - - + + + = - > 5 11 1 4 2 3 5 7 100 68 0 n ³ 5 1 1 n n s s + - ? n = 2 3 2 3 4 5 2 3 5 创 ? 创 n = 3 3 2 3 4 5 6 2 3 5 创 ? 创 n ³ 4 ( , 1, 2, 3 3 ,2 , ,2 3 ) ( ) a b c d n n n n p + + + = ? (2 3 , , 2 ,3 ) a b c d ´ p n = 6 n= 2,3,6 2 b b c = 2 2 c a c p a c - = + (a c d , )= * m n N 、 Î (m n, 1 )= a md c nd ìï = ï í ï = ïî ( ) 2 2 2 nd m n p m n - = ? + (m n m n d + - = , ' ) d m '2 d n '2 d m n ' 2 , 2 ( ) d '2 * h k N 、 Î (h k, 1 )= 2 2 ' ' m n d k m n d h ìï - = ï í ï ï + = î m
得(F-R),所以，p-(学)，即，亦即4pbh=da(F-K),2hhld'd,记d'd= he(e? N"),有4p= ek(h-k)。（二）瞄准目标求解若h、k都是奇数，则4p°0(mod8)，所以p=2。若h、k一奇一偶，则奇数h2k2？3有唯一奇素因子p，只能是ek=4，素数p=h-k2=(h+k)2(hk)，必有h-k=1，p=h+k=2k+1；由k=1,2,4，依次算得p=3,5,9，但9不是素数，对(k,p)=(2,5)，按照公式(a,b)=(13dd,5d'd)，列表计算出正整数对(a,b)：3568故存在正整数对(a,b)=(39,30)，满足12?.3930.2303048S42?3930V108故最大的素数p=5。54.解：记这些素数为，P<p,<L<25<p+<L<P，a p,= 27k。对称处理：27-P,27-p,L,27-P，P+1-27,P2-27,L,Pk-27。记4=?(27-p)，B=a(p,-27)，则B-A=a p,-27k=0，B=A为偶数，所=1=什二20
20 得 ，所以， ，即 ，亦即 ， ，记 ，有 。 （二）瞄准目标求解 若 都是奇数，则 ，所以 。 若 一奇一偶，则奇数 有唯一奇素因子 ，只能是 ，素数 ，必有 ， ；由 ，依次算 得 ，但 9 不是素数，对 ，按照公式 ，列表 计算出正整数对 ： 4 2 2 3 5 6 39 30 故 存在正整数对 ，满足 ， 故 最大的素数 。 54.解：记这些素数为， ， 。 对称处理： ， 。 记 ， ，则 ， 为偶数，所 ( ) ' 2 2 2 d n h k = - ( ) 2 2 2 2 2 nd k p h = ? 2 nd k p h = ? ( ) 2 2 4 ' ph d dk h k = - h d d' ( ) * d d he e N ' = ? ( ) 2 2 4p ek h k = - h k 、 4 0 mod8 p º ( ) p = 2 h k 、 2 2 h k - ? 3 p ek = 4 ( ) ( ) 2 2 p h k h k h k = - = + ? h k - = 1 p h k k = + = + 2 1 k = 1,2,4 p = 3,5,9 (k p, 2,5 )= ( ) ( ) ( ) 13 ' , ,5 ' 2 d d a b d d = (ab, ) eke k h p d d' a b (a b, 39,30 )= ( ) 30 2 39 30 30 48 5 4 2 39 30 4 108 ? ? ? ? p = 5 1 2 1 25 i k p p p p < < < < < < L L + 1 27 k j j p k = å = 1 2 27 , 27 , , 27 i - - - p p p L 1 2 27, 27, , 27 i i k p p p + + - - - L ( ) 1 27 i j j A p = = - å ( ) 1 27 k j j i B p = + = - å 1 27 0 k j j B A p k = - = - = å B A =