所以可以限制(a,a,L,a,)=(n+1,n+2,L,2n)=A。若2/n+1,则号(n+1)?4，有,min.α,？1号(n+1)=3(n+1)?6(1)。否则，必有2n+2，考虑号(n+2)[2nn?6：当n26时，有号(n+2)?A，所以mina,？2.号(n+2)=3(n+2)?6(蘑1)；由已知nl4，剩下n=2，这时A=(3.4)，有[3.4]-12=6(+1)。综上所述，命题成立。27.证明：对i递推论证（数学归纳法）当i=1时，按题意，1?aa？n成立。假设当2#ik时，命题对1#ji-1都有ja,fn，下面证：ia,fn。按最小公倍数的定义，存在p、qi，使得[a-apa=qa，由a>a,，知p<q。如果qi，则i(q-p)?q，即q(i-1)>，所以。q结合归纳假设，有ia=ia?号ia,,-？（1)a.？n。如果q"i，则由归纳假设，也有ia？qa[aia,]?n。综上所述，由数学归纳法，命题得证。28.证明：当=1时，由正整数4，知6og]，2，从而寸。假设命题对正整数n=k成立，则当n=k+1时，任取正整数α<a<α<L<a+1，则分以下两种情况论证：若ak+,32k+l，则赣，ak+，吵ak+2k+l，由归纳假设，有？1L2424+[6oa,] [a,a,][a-1,a,]颜ak+否则，ak+1< 24+1则对切1#ik+1，都有I，(a.ta) a-ai工。二，所以，有a.a[a,i,a,]araa.a11111?121+L +24+1[oa][a,a,][a-i,a]籁ak+1aoag+1综上所述，由数学归纳法，命题得证。11
11 所以可以限制 。 若 ，则 ，有 。否则， 必 有 ，考虑 ； 当 时，有 ，所以 ；由已知 ，剩下 ，这时 ，有 。 综上所述，命题成立。 27.证明：对 递推论证（数学归纳法） 当 时，按题意， 成立。 假设当 时，命题对 都有 ，下面证： 。 按最小公倍数的定义，存在 ，使得 ，由 ， 知 。 如果 ，则 ，即 ，所以 。 结合归纳假设，有 。 如果 ，则由归纳假设，也有 。 综上所述，由数学归纳法，命题得证。 28.证明：当 时，由正整数 ，知 ，从而 。 假设命题对正整数 成立，则当 时 ， 任 取 正 整 数 ，则分以下两种情况论证： 若 ，则 ，由归纳假设，有 ； 否则， ， 则 对 一 切 ， 都 有 ，所以，有 。 综上所述，由数学归纳法，命题得证。 {a a a n n n A 1 2 , , , 1, 2, ,2 n} { } Ù L L = + + = 2 1 n + ( ) 3 1 2 n A + ? ( ) ( ) ( ) 1 min , 1, 1 3 1 6 1 3 2 2 i j i j n n a a n n n ? ? 轾 ? + = + ? 轾 轾 犏臌 犏 犏 臌 臌 2 2 n+ ( ) 3 2 2 6 2 n n n + ［ ? n ³ 6 ( ) 3 2 2 n A + ? ( ) ( ) ( ) 1 min , 2, 2 3 2 6 1 3 2 2 i j i j n n a a n n n ? ? 轾 ? + = + ? 轾 轾 犏臌 犏 犏 臌 臌 n ¹ 4 n = 2 A= {3,4} [ ] ( ) 2 3, 4 12 6 1 2 = = + 轾犏臌 i i = 1 1 1 1? ? a a n 2＃i k 1 1 ＃j i - j ja n £ i ia n £ * p q N 、 Î [ ] 1 1 , i i i i a a pa qa - - = = i i 1 a a - > p q < q i < i q p i q ( - ?) q i ip ( - > 1) p i 1 q i - < ( ) 1 1 1 1 1 i i i i p i ia ia ia i a n q i - - - - = ? ? ? ? q i ³ [ ] 1 , i i i i ia qa a a n - ? ? n = 1 0 1 a a < [ ] 0 1 1 a a a , 2 吵 [ ] 0 1 1 1 a a, 2 £ n k = n k = + 1 0 1 2 1 k a a a a < < < < L + 1 1 2 k k a + + ³ 1 1 1 , 2k k k k a a a + 轾臌 + + 吵 [ ] [ ] [ ] 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , 2 2 2 n k k k k k k a a a a a a a a + + - + + + + + ? + = - 轾臌 L 1 1 2 k k a + + < 1 1 ＃i k + [ ] ( ) 1 1 1 1 1 1 , 1 1 1 , i i i i i i i i i i i i a a a a a a a a a a a a - - - - - - - = ? - [ ] [ ] [ ] 1 0 1 1 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , 2 k k k k k k a a a a a a a a a a + - + + + + + + ? ? 轾臌 L
29.证明：记m=n+k,k?N，则(m+ 1)(n+ 1)[m,n]+[m+ 1,n+1}- m + mnmn(m,n)(m+ 1,n+ 1)(k,n)(m+ 1,n+1)211(k,n)(k,n+ 1)Q(k,n),(k,n+ 1)= 1 ,(k,n)(k,n+ 1)k, (k,n)(k,n+ 1)? k,2mm=2mn(k,n)(m+ I,n+1)km-nJ(k,n)(k,n+ 1)故综上所述，得[m,n]+[m+1,n+1>2mmm-n30.解：若n=p(k?N)，其中p是素数，则M=pp=pMM.1否则，n不是素数幂，当然也不是素数，n>1是合数，则存在互素的a、biN"，使得n=ab，且1<a<n以及<b<n，则aM1，且bM1，所以abM1，即nM,1，有M,=M,1。1所有合数即为所求。31.解：如果a=b=c，则[ab,c}a<a+b+c，不符合题设，所以a、b、c不全相等。设a#bc，则必有a+b<2c，从而c<a+b+c<3c，由题设[a,b,c]a+b+c=2c，所以，a+b=c，[a,b,c3c=2(a+b)，有b[2a+2b，b|2a,再由afb，可得bi(a,2a。若是b=a，则有[a,b.c[a,a,2a}2a<4a=a+b+c，不符合题设；所以b=2a，则c=a+b=3a，这时[a,b,c][a,2a,3a]6a=a+2a+3a=a+b+c。故满足题意的所有正整数组三元组(a,b,c)=(a,2a,3a)a?N)。32.解：按题意，a、b、C、d每个数都形如3"7"，其中ml(0,1,2,L，)，ni (0,1,2,L ,s).12
12 29.证明：记 ，则 。 ， ， ， 。 故 综上所述，得 。 30.解：若 ，其中 是素数，则 。 否则， 不是素数幂，当然也不是素数， 是合数，则存在互素的 ， 使得 ，且 以及 ，则 ，且 ，所以 ，即 ， 有 。 所有合数即为所求。 31.解：如果 ，则 ，不符合题设，所以 不 全相等。 设 ，则必有 ，从而 ，由题设 ，所以， ， ，有 ， ， 再由 ，可得 。 若是 ，则有 ，不符合题设；所以 ， 则 ，这时 。 故 满足题意的所有正整数组三元组 。 32.解：按题意， 每个数都形如 ， 其 中 ， 。 * m n k k N = + ? , [ ] [ ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , 1, 1 , 1, 1 , 1, 1 mn mn mn m n m n m n m n m n k n m n + + + + + = + > + + + + + ( , , 1 ) ( ) mn mn k n k n = + + Q ((k n k n , , , 1 1 ) ( + = )) \ (k n k n k , , 1 )( + ) (k n k n k , , 1 )( + ?) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 , 1, 1 , , 1 mn mn mn mn mn k n m n k n k n k m n + 吵 = + + + - [ ] [ ] 2 , 1, 1 mn m n m n m n + + + > - ( ) k * n p k N = ? p 1 1 1 , k M M p p M M n n n n = = 轾犏臌 - - - 坠 n n > 1 * a b N 、 Î n ab = 1< <a n 1< <b n n 1 aM - n 1 bM - n 1 ab M - n 1 nM - M M n n = - 1 \ abc = = [a b c a a b c , , ]= < + + a b c 、 、 abc ＃ a b c + < 2 c a b c c < + + < 3 [a b c a b c c , , 2 ]= + + = a b c + = [a b c c a b , , 3 2 ]= = + ( ) b a b 2 2 + b a2 a b £ b a a Î { ,2 } b a = [a b c a a a a a a b c , , , ,2 2 4 ]= = < = + + [ ] b a = 2 c a b a = + = 3 [a b c a a a a a a a a b c , , ,2 ,3 6 2 3 ]= = = + + = + + [ ] ( ) ( )( ) * a b c a a a a N , , ,2 ,3 = ? a b c d 、 、 、 3 7m n m r Î {0,1,2, , L } n s Î {0,1,2, , L }
首先，至少有2个m=r，也至少有2个n=s，否则，题设不能成立。所以，由分类加法计数原理与分步乘法计数原理，可得满足题设的正整数4元组(a,b,c,d)的个数是(Cr+Cir+ 1)(Cs2Cs+ 1)=(1+ 4r+ 6r)(1 4s+ 6s)。33.解：由题意，dlax，则d？a，1#k49，所以999=aa？49d，从而-d?9921；但d999，即d3×37，所以di(13,9)。49又999= 944942 444143+ 567= 944942 44413+ 92? 7,1dmax= 9。34.解：假设4#号，则3a2n，则存在不大于2n的n+1个正整数2a,3a,az,a,L，aa，则其中必存在两个数，其中一个是另一个的倍数（含相等）（1）存在a,(2#jn)满足：2a,，或3a，或a,2a，或a[3。若是2a，则有,？，？2n；若是3a，则有,？a，a？2n；若是a,2ai，则有α,？a，2a？2n；若是a,34，则有,？，3a？2n。这些都与题设α,>2n相矛盾！（2）存在aa,(2?ij?n)，满足：aj，则a,=a?2n，这与题设a,>2n相矛盾。故4>。35.解：由于[a,b]=23253、[b,c]-24253以及[c,a]24253，得(a,b,c)=(215h,2°-5%,245%)，其中ab,都是非负整数(i=1,2,j=1,2,3)，且max(aaz)=3，b/b2、b,至少有2个是3.1满足题意的正整数3元组(a,b,c)的个数是(C,?3C)C,3+C)=70。36.证明：记(mn)=d，则存在互素的正整数m、n，使得m=md,n=nd，13
13 首先，至少有 2 个 ，也至少有 2 个 ，否则，题设不能成立。 所以，由分类加法计数原理与分步乘法计数原理，可得满足题设的正整数 4 元组 的个数是 。 33.解：由题意， ，则 ，所以 ，从而 ；但 ，即 ，所以 。 又 ， 。 34.解：假设 ，则 ，则存在不大于 的 个正整数 ，则其中必存在两个数，其中一个是另一个的倍数（含相等） （1）存在 满足： ，或 ，或 ，或 。 若是 ，则有 ； 若是 ，则有 ； 若是 ，则有 ； 若是 ，则有 。 这些都与题设 相矛盾！ （2）存在 ，满足： ，则 ，这与题设 相矛盾。 故 。 35.解：由于 、 以及 ，得 ，其中 都是非负 整 数 ， 且 ， 至少有 2 个是 3. 满足题意的正整数 3 元组 的个数是 。 36.证明：记 ，则存在互素的正整数 ，使得 ， m r = n s = (a b c d , , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 3 2 2 4 4 4 4 C r C r C s C s r r s s + + ? + = + + ? + 1 1 1 4 6 1 4 6 k d a , 1 49 k d a k ? ＃ 49 1 999 49 k k a d = = ? å 999 21 49 d ? d 999 3 d 3 37 × d Î {1,3,9} 2 48 48 999 9 9 9 567 9 9 9 9 7 = + + + + = + + + + ? 1444442 444443 1444442 444443 L L \ max d = 9 1 2 2 3 3 n n a ＃轾犏臌 1 3 2 a n £ 2n n + 1 1 1 2 3 2 ,3 , , , , n a a a a a L (2 ) j a j n ＃ 1 2 j a a 1 3 j a a 1 2j a a 1 3j a a 1 2 j a a 1 1 , 2 , 2 j j j 轾 轾 犏 犏 臌 臌 a a a a a n ? ? 1 3 j a a 1 1 , 3 , 2 j j j 轾 轾 犏 犏 臌 臌 a a a a a n ? ? 1 2j a a 1 1 1 , 2 , 2 2 j j 轾 轾 犏 犏 臌 臌 a a a a a n ? ? 1 3j a a 1 1 1 , 3 , 3 2 j j 轾 轾 犏 犏 臌 臌 a a a a a n ? ? 1 , 2 j 轾犏臌a a n > (2 ) i j a a i j n 、 ? ? i j a a , 2 i j j 轾犏臌a a a n = ? , 2 i j 轾犏臌a a n > 1 2 3 n a > 轾犏臌 [ ] 3 3 a b, 2 5 = ? [ ] 4 3 b c, 2 5 = ? [ ] 4 3 c a, 2 5 = ? ( ) ( ) 1 1 2 2 4 3 abc , , 2 5 ,2 5 ,2 5 a b a b b = i j a b 、 (i j = = 1,2; 1,2,3) max , 3 {a a1 2}= 1 2 3 b b b 、 、 \ (abc , , ) ( ) ( ) 1 2 2 3 2 2 3 3 C C C C ?3 3 70 鬃 + = (m n d , )= m n 1 1 、 1 1 m m d n n d = =
[m,nmnd，代入题设等式，可得d+mnd=md+nd，即(m-1)(n-1)=0，所以m=1，或者n=1，故所求正整数对(m,n)满足mn或nm。评注：也可以从方程x2-(m+n)x+mn=0的解集，得到([m,nl(m,n)=(m,n)，得证。-*，明显有dd，下面证明：dld。37.证明：记d=(na"-br)，d-任取素数pld，记p"d,，则p"|n，且p"a"-b”。若p°la-b，则必有p":，所以p"ld。a-若pla-b,记a-b=s,则等-(b+)-- csb) 。a-bsJI对1#jn，有素数p在j的素因子分解式中的指数为？」，不超过j-1，所以p"Cs，p，= p=Ip即p"d2。由素数幂p"ld,的任意性，可得dld。综上所述，d,=d,。38.解：首先c=d=0满足条件，以下设c、d不全为零，这时必有c0，否则c=0而di0，则不可能存在无穷多个不同的正整数对(x,y)，使得xld以及yd；当c!0而d=0，则明显满足条件。以下设cd！0，下面证明cd。若cd时，记d=ck，其中kiz；则cx+d=k(x+k)以及cy+d=c(y+k)，所以，取(x,y)=(i,-k-i)(i=1,2,L)即可。假设cd不成立，则必有素数幂p°c，但p不是d的约数，其中p是素数，aiN'.按题意，存在无穷多个不同的整数对(xmy,)n=1,2,L）满足x,cy,+d以及ylax+d。，则必有一个整数的绝对值足够大，不妨设>cd，则14
14 ，代入题设等式，可得 ，即 ，所以 ，或者 ，故所求正整数对 (m n, ) 满足 mn 或 nm。 评注：也可以从方程 的解集，得到 ， 得证。 37.证明：记 ， ，明显有 ，下面证明： 。 任取素数 ，记 ，则 ，且 。 若 ，则必有 ，所以 。 若 ，记 ，则 。 对 ，有素数 在 的 素 因 子 分 解 式 中 的 指 数 为 ，不超过 ，所以 ， ， 即 。 由素数幂 的任意性，可得 。 综上所述， 。 38.解：首先 满足条件，以下设 不全为零，这时必有 ，否则 而 ，则不可能存在无穷多个不同的正整数对 ，使得 以及 ； 当 而 ，则明显满足条件。以下设 ，下面证明 。 若 时，记 ，其中 ；则 以及 ，所 以，取 即可。 假设 不成立，则必有素数幂 ，但 不是 的约数，其中 是素数， 。 按题意，存在无穷多个不同的整数对 满足 以及 。， 则 必 有 一 个 整 数 的 绝 对 值 足 够 大 ， 不 妨 设 ， 则 [ ] 1 1 m n m n d , = 1 1 1 1 d m n d m d n d + = + ( )( ) 1 1 m n - - = 1 1 0 1 m = 1 1 n = 1 ( ) 2 x m n x mn - + + = 0 {[m n m n m n , , , , ]( )}= { } 1 ( , ) n n d n a b = - 2 , n n a b d n a b = 骣ç - ÷ ç桫 - ÷÷ 2 1 d d 1 2 d d 1 pd 1 m p d m p n m n n p a b - 0 p a b - n n m a b p a b - - 2 m p d p a b - a b s - = ( ) 1 1 n n n n n j j n j n j b s b a b C s b a b s - - = + - - = = - å 1＃j n p j! 1 1 1 1 1 1 2 t t t t t j j j j j j j j p p p + ? ? ? ? = = = = 轾犏 < = ? 犏臌 邋 邋 j - 1 m j j 1 n p C s - n n m a b p a b - - 2 m p d 1 m p d 1 2 d d 1 2 d d = c d = = 0 c d 、 c ¹ 0 c = 0 d ¹ 0 ( , ) n n x y n x d n y d c ¹ 0 d = 0 cd ¹ 0 cd cd d ck = k Z Î ( ) i i cx d k x k + = + ( ) i i cy d c y k + = + ( , , 1,2, ) ( )( ) i i x y i k i i = - - = L cd a p c a p d p * a N Î ( , 1,2, )( ) n n x y n = L n n x cy d + n n y cx d + 4 4 1 x c d >
cy+d?lcd，从而cy>cd-d；由>1，得>d”。(cy+ d)(ex+ d)= c+ d+ d+ ? z由以及Xcd + cd + d? edl Jcdl+ d++可得(cyi + d)(cx + d) = c? 。所以，由pe，得p"cx+d)(cy+d)，必有plcx+d，或plcy+d，这导致pld，矛盾。故必有cld。综上所述，c=d=0，或d=kc(k?Z)。=(3a)基(2a)(4b)影(36)(2b)影b!39.解：（1）Z(a,b)=(b-a)blbi"al(b-a)al(2a)!alalbl(3b)!"bl(2b)!=C%2aCh美C%ba)是一个非负整数。（2）对给定的biN，取a=素数p>4b，则p(3a)(4b)，但p(al)(bl)，所以Z(a,b)IZ，很明显，α取大于4b的素数有无穷多种取法。40.解: 由(n)(mod7):1,1- 1,1,- 1- 1,0,1,1,- 1,1,- 1,- 1,0,L当n37时，n+5?12+6+24+5？3(mod7)，不是完全立方数；直接计算：1+5=6,2+5=7,3+5=11,4+5=29,5+5=5,6+5=52229，故只有当n=5时，5什5=53是完全立方数。41.证明：用数学归纳法当n=3时，23=8=7?131；假设当n=k(k？3)时，存在正奇数x、y，使得2*=7x2+y2，则2k+1=14x2+2y2，2+3= 56x2+ 8y2= 7(x2+ y)+ (49x2 + y)= 7(x- )+(7x+ y),-724+1=7?1撬2厨秒2罐2秒2x+ y.x- y.Qy2215
15 ，从而 ；由 ，得 。 由 以 及 ，可得 。 所以，由 ，得 ，必有 ，或 ，这导 致 ，矛盾。 故 必有 。 综上所述， ，或 。 39.解：（1） 是一个非负整数。 （2）对给定的 ，取 素数 ，则 ，但 ，所以 ，很明显， 取大于 的素数有无穷多种取法。 40.解：由 当 时， ，不是完全立方数； 直接计算： ， 故 只有当 时， 是完全立方数。 41.证明：用数学归纳法 当 时， ；假设当 时，存在正奇数 ，使得 ，则 ， ， 。 ， 4 4 1 1 cy d x c d + ? 4 4 1 cy c d d > - c > 1 2 4 1 y c d > ( )( ) 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 cy d cx d cd cd d c Z x y x y x y + + = + + + ? 2 2 3 3 3 6 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 2 64 cd cd cd cd d d x y x y x y x y c d cd c d + + ? + < + + < + + < ( )( ) 1 1 2 1 1 cy d cx d c x y + + = 2 2 a p c ( )( ) 2 1 1 a p cx d cy d + + 1 a p cx d + 1 a p cy d + p d a cdc d = = 0 d kc k Z = ? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ! 2 ! 4 ! 3 ! 2 ! ! , ! ! 2 ! ! 3 ! ! 2 ! ! ! ! ! ! ! a a b b b b Z a b b a a a b b b b a b a a a b b = 鬃 鬃 鬃 - - ( ) 3 2 4 3 2 ! a a b b b = C C C C C b a a a b b b 鬃 鬃 ? b N Î a = p b > 4 ( ) ( ) 3 p a b 3 ! 4 ! ( ) ( ) 4 3 4 p a b ! ! Z a b Z ( , )Ï a 4b { }( ) 3 n mod7 :1,1, 1,1, 1, 1,0,1,1, 1,1, 1, 1,0, - - - - - - L n ³ 7 n! 5 1 2 6 24 5 3 mod7 + ? + + + ? ( ) 3 2 1! 5 6, 2! 5 7,3! 5 11, 4! 5 29,5! 5 5 ,6! 5 5 29 + = + = + = + = + = + = ? n = 5 3 5! 5 5 + = n = 3 3 2 2 2 8 7 1 1 = = ? n k k = ? ( 3) x y 、 2 2 2 7 k = + x y 1 2 2 2 14 2 k x y + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 56 8 7 49 7 7 k x y x y x y x y x y + = + = + + + = - + + \ 2 2 2 2 1 7 7 2 7 7 2 2 2 2 k+ = ? = ? 骣 骣 骣 骣 珑 珑 珑 珑 珑 珑 桫 桫 桫 桫 x y x y x y x y - + + - 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 Q 2 2 x y x y y + - - =