高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、可微的条件 定理1(必要条件) 如果函数x=f(x,y)在点(x,y)可微分,则 该函数在点(x,y)的偏导数、0必存在,且函 ax a1 数z=f(X,y)在点(x,y)的全微分为 z △x+-△ ax Http://www.heut.edu.cn
如果函数z = f ( x, y)在点(x, y) 可微分，则 该函数在点(x, y)的偏导数 x z 、 y z 必存在，且函 数z = f ( x, y)在点(x, y)的全微分为 y y z x x z dz + = ． 定理1（必要条件） 二、可微的条件
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 证如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分, P(x+△x,y+△y)∈P的某个邻域 △=A△x+BNy+0(0)总成立, 当△y=0时,上式仍成立,此时p=△x f∫(x+△x,y)-f(x,y)=A·△x+0(△x|), f∫(x+△x,y)-∫(x, az m △v ax 同理可得B ay tt p : // h
证 如果函数z = f (x, y)在点P(x, y)可微分, P(x + x, y + y)P 的某个邻域 z = Ax + By + o() 总成立, 当y = 0时，上式仍成立，此时 =| x |, f (x + x, y) − f (x, y) = A x + o(| x |), A x f x x y f x y x = + − → ( , ) ( , ) lim 0 , x z = 同理可得 . y z B =
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 元函数在某点的导数存在<微分存在 多元函数的各偏导数存在<→全微分存在 ry 例如,f(x,)2={∠x2+y2≠0 0 在点(0,0)处有 fx(0,0)=f,(0,0)=0 Http://www.heut.edu.cn
一元函数在某点的导数存在 微分存在． 多元函数的各偏导数存在 全微分存在． 例如， . 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 + = + = + x y x y x y xy f x y 在点(0,0)处有 (0,0) = (0,0) = 0 x y f f
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> △·△ Az-f0,0)·△x+J(0,0)4y △x)2+(4y)2 如果考虑点P(△x,△y)沿着直线y=x趋近于(0,0), △x·△y 则√(Ax)2+(4y)2 △x·△v (△x)2+(△x)22 说明它不能随着P→>0而趋于0,当p>0时, Az-[fx(0,0)·△x+f(0,0)·4y≠0(P), 函数在点(0,0)处不可微 Http://www.heut.edu.cn
z [ f (0,0) x f (0,0) y] − x + y , ( ) ( ) 2 2 x y x y + = 如果考虑点P(x,y)沿着直线y = x趋近于(0,0)， 则 2 2 ( x) ( y) x y + 2 2 ( x) ( x) x x + = , 21 = 说明它不能随着 → 0而趋于 0, 当 → 0 时， z [ f (0,0) x f (0,0) y] o( ), − x + y 函数在点(0,0)处不可微