此性质可用来求微分方程（组）的初值问题 例题3求解下列微分方程的初值问题。 y(t)+o2y(t)=0y(0)=0,y(0)=0 解：对微分方程两边取拉普拉斯变换，并利用线性性 质和微分性质得到 s2Y(s)-y0)-y(0)+o2Y(s)=0 0 代入初值得到 ()= 2+02 再由拉普拉斯逆变换得到 y(t)=sin ot
此性质可用来求微分方程(组)的初值问题 例题3求解下列微分方程的初值问题。 ( ) ( ) 0 '' 2 y t + y t = ' y y (0) 0, (0) = = 质和微分性质得到 解:对微分方程两边取拉普拉斯变换,并利用线性性 ( ) (0) (0) ( ) 0 2 ' 2 s Y s − sy − y + Y s = 2 2 ( ) + = s 代入初值得到 Y s 再由拉普拉斯逆变换得到 y(t) = sin t
例题4求函数f(t)=t"的拉普拉斯变换。 解：方法1直接利用定义求解 41=eh=-产e 可得到递推关系 ]=m Lt"]=m
+ − + − = = − 0 0 1 [ ] m m s t m s t t de s L t t e dt + − + − − = − + 0 1 0 1 | 1 t me dt s t e s m st m st [ ] [ ] −1 = m m L t s m L t 1 ! [ ] + = m m s m L t 例题4求函数f (t) = t m 的拉普拉斯变换。 解:方法1.直接利用定义求解 可得到递推关系
方法2.利用导数的像函数的性质求解 设f(t)=tm,则fm(t)=ml并且 f(0)=f(0)=.=fm-(0)=0 由上述公式有LLfm)(t)】=s"mLf(t)] 1-m]=gm (2)像函数的导数 设L(f(t)=F(s),则有F'(s)=-L(f(t) L[F(s】=-f(t)
设f (t) = t m ,则f (m) (t) = m!并且 (0) (0) (0) 0 ' ( 1) = = = = m− f f f [ ( )] [ ( )] ( ) L f t s L f t m m = 1 ! [ !] 1 [ ] + = = m m m s m L m s L t 方法2.利用导数的像函数的性质求解 由上述公式有 (2)像函数的导数 设L( f (t)) = F(s),则有 ( ) ( ( )) ' F s = −L tf t [ ( )] ( ) 1 ' L F s = −tf t −
一般地，对像函数求高阶导数可得到 Fm(s)=(-1)mL(t”f(t) L'[Fm(s】=(-1)t"ft) 例题5求函数f(t)=t2 cos wtf的拉普拉斯变换. 解：己知 kwo=产o 直接利用公式可得 r-。) (s2+02)3
( ) ( 1) ( ( )) ( ) ( ) F s L t f t n n n = − [ ( )] ( 1) ( ) 1 ( ) ( ) L F s t f t n n n = − − 一般地,对像函数求高阶导数可得到 例题5求函数f (t) t cost的拉普拉斯变换. 2 = 解:已知 2 2 [cos ] + = s s L t 直接利用公式可得 2 2 3 3 2 '' 2 2 2 ( ) 2 6 [ cos ] ( ) + − = + = s s s s L t t