2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心2006年全国硕士研究生入学考试数学（四）答案解析与点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心清华大学数学科学系刘坤林谭泽光俞正光葛余博1.06年考题仍然以基本的概念，理论和技巧为主，注意考察基础知识的理解与简单综合运用。除概率统计比05年考题难度略有增加以外，试卷难度普遍降低，估计平均难度系数为55-62%，平均分数为80-83分；而前几年为38-45%，平均分数只有60-63分。2.各套试题共用题目比例有较大幅度提高，在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。特别是数三数四连续几年并无任何经济特色，正如我们在讲座和教学中强调的那样，考的是数学，确切说是理工类数学的能力。这是对07年考生的重要参考，3．06年考题进一步说明了我们在水木艾迪考研辅导中教学策略的正确性，教学内容的准确性和有效性，包括基础班、强化班及考研三十六计冲刺班，对广大学员的教学引导与训练，使更大面积的考生最大限度受益。就四套试题的全局而言，水木艾迪考研辅导教学题型、方法与技巧在06年的考试中得到完美的体现，许多试题为水木艾迪考研辅导教学或模拟试题的原题，还有大量题自仅仅有文学和符号的差别，问题类型及所含知识点与所用方法完全相同，特别是水木艾迪考研数学三十六计为广大学员提供了全盛的锐利武器。在面向07年考研的水木艾迪考研辅导教学中，水木艾迪的全体清华大学教师将进一步总结经验，不辜负广大考生的支持和赞誉，以独树一帜的杰出教学质量回报考生朋友，为打造他们人生的U-形转弯倾心工作，送他们顺利走上成功之路。一、填空题（每小题4分，共24分）(1). lm("+l)y-" =1nn→00n+i【解析与点评】应注意：本题并非lim("”的形式，考点为初等函数性质与极限运算。nn+1(1)a令u=.n=1,2,3,....n2k2k-11≥1则当n=2k-1时，u,=（=：2k-12k2kn+11=+!,2k+) =1+则当n=2k时，u,=2k2khn+l(-1)° =1。故lim(1>0n可参见水木艾迪2006考研数学基础班讲义例1.17，例1.32，强化班例18等题目。(2）设函数(x)在x=2的某邻域内可导,且(x)=ef(x),f(2)=1则于"(2)=2e【解析与点评】由题设f(x)在x=2的某邻域内可导以及(x)=e()，可知f(x)也在x=2的同一邻域内可导，于是在该邻域内函数f(x)二阶可导，且f"(x)=[e(*)]'= f'(x)e() =e2f()。1培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055
2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 1 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 2006 年全国硕士研究生入学考试数学（四） 答案解析与点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 清华大学数学科学系 刘坤林 谭泽光 俞正光 葛余博 1． 06 年考题仍然以基本的概念，理论和技巧为主, 注意考察基础知识的理解与简单综合运 用。除概率统计比 05 年考题难度略有增加以外，试卷难度普遍降低，估计平均难度系 数为 55-62%，平均分数为 80-83 分；而前几年为 38-45%，平均分数只有 60-63 分。 2． 各套试题共用题目比例有较大幅度提高，在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。特别 是数三数四连续几年并无任何经济特色，正如我们在讲座和教学中强调的那样，考的是 数学，确切说是理工类数学的能力。这是对 07 年考生的重要参考。 3． 06 年考题进一步说明了我们在水木艾迪考研辅导中教学策略的正确性，教学内容的准 确性和有效性，包括基础班、强化班及考研三十六计冲刺班，对广大学员的教学引导与 训练，使更大面积的考生最大限度受益。 就四套试题的全局而言，水木艾迪考研辅导教学题型、方法与技巧在 06 年的考试 中得到完美的体现，许多试题为水木艾迪考研辅导教学或模拟试题的原题，还有大量 题目仅仅有文字和符号的差别，问题类型及所含知识点与所用方法完全相同，特别是 水木艾迪考研数学三十六计为广大学员提供了全盛的锐利武器。 在面向 07 年考研的水木艾迪考研辅导教学中，水木艾迪的全体清华大学教师将进 一步总结经验，不辜负广大考生的支持和赞誉，以独树一帜的杰出教学质量回报考生 朋友，为打造他们人生的 U-形转弯倾心工作，送他们顺利走上成功之路。 一、填空题（每小题 4 分，共 24 分） （1）． = + − →∞ n n n n ( 1) ) 1 lim( 1 【解析与点评】 应注意：本题并非 n n n n ) 1 lim( + →∞ 的形式，考点为初等函数性质与极限运算。 令 ) , 1,2,3, , 1 ( ( 1) = . + = − n n n u n n 则当 n = 2k −1时， = − = − = − k k k k un 2 2 1 ) 2 1 2 ( 1 1 1 1 2 1 1 + − = − k n ， 则当 n = 2k 时， k k n k un 1 1 2 1 ) 1 2 2 ` ( 1 = + = + + = ， 故 = + − →∞ n n n n ( 1) ) 1 lim( 1。 可参见水木艾迪 2006 考研数学基础班讲义例 1.17，例 1.32，强化班例 18 等题目。 (2) 设函数 f (x) 在 x = 2 的某邻域内可导,且 ( ) ( ) f x f ′ x = e , f (2) = 1则 (2) 2 . 3 f ′′′ = e 【解析与点评】由题设 f (x) 在 x = 2 的某邻域内可导以及 ( ) ( ) f x f ′ x = e ，可知 f ′(x) 也在 x = 2 的同一邻域内可导，于是在该邻域内函数 f (x) 二阶可导，且 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) [ ] ( ) f x f x f x f ′′ x = e ′ = f ′ x e = e
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心利用上式可知f"(x)也在x=2的同一邻域内可导，于是在该邻域内函数f(x)三阶可导，且于"(x)=[e2f(x)]'=2f(x)e2(x)=2e3()。将f(2)=1代入即得于"(2)=2e3参见水木艾迪2006考研数学36计例4-6，4-7。百分训练营模拟试题数二第3题，(3)设函数f(u)可微,且」(0)=,则z=f(4x2-y2）在点(1,2)处的全微分dl(.2) = 4dx - 2dy 。【解析与点评】该题为多元函数微分学基本题。利用一阶全微分形式不变性直接计算可得dz= f(u)du= f'(4x2-y)-d(4x2-y)= f'(4x? - y°)-(8xdx -2ydy)= 2f'(4x2 -y")-(4xdx - ydy)于是dlaz2)=2f(0)(4dx-2dy)= 4dx-2dy可参见水木艾迪2006考研数学36计例15-5等题(4）已知a,a,为2维列向量，矩阵A=(2a+a,a-a)，B=(a,a).若行列式[A=6，则|B=—答案B=-2。【解析与点评】本题主要考查矩阵的行列式计算[解1 A=(2a +0,4,-α,)-(ag,α ]-([4 =13] -3,所以，B=-2(5)设矩阵A=，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则B=-12【解析与点评】本题主要考查矩阵运算，阶矩阵方程，求逆矩阵等【解】由BA=B+2E，得B(A-E)=2E，于是()。 (4-E)"-G ), 管案B-G )B=2(A-E)", A-E=（6）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[1,3]上的均匀分布，由2培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055
2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 2 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 利用上式可知 f ′′(x) 也在 x = 2 的同一邻域内可导，于是在该邻域内函数 f (x) 三阶可 导，且 ′′′( ) = [ ]′ = 2 f ( x) f x e 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 f x f x f ′ x e = e 。 将 f (2) = 1代入即得 (2) 2 . 3 f ′′′ = e 参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计例 4-6，4-7。百分训练营模拟试题数二第 3 题， (3) 设函数 f (u) 可 微 , 且 2 1 f ′(0) = , 则 (4 ) 2 2 z = f x − y 在 点 (1,2) 处的全微分 dz 4dx 2dy (1,2) = − 。 【解析与点评】 该题为多元函数微分学基本题。利用一阶全微分形式不变性直接计算可得 ( ) (4 ) (4 ) 2 2 2 2 dz = f ′ u du = f ′ x − y ⋅ d x − y (4 ) (8 2 ) 2 2 = f ′ x − y ⋅ xdx − ydy 2 (4 ) (4 ) 2 2 = f ′ x − y ⋅ xdx − ydy 于是 dz 2 f (0)(4dx 2dy) 4dx 2dy (1,2) = ′ − = − . 可参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计例 15-5 等题 （4）已知 1 2 a a, 为 2 维列向量，矩阵 1 21 2 A a aa a = (2 , ) + − ， 1 2 B = (, ) a a ．若行列式 | |6 A = ，则| | B = ． 答案 B = −2。 【解析与点评】本题主要考查矩阵的行列式计算. 【解】 ( )( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = + − = 1 1 2 1 1 1 2 1 2 , A α1 α 2 ，α1 α 2 α1 α 2 B ， A B 3B 1 1 2 1 = − − = ， 所以， B = −2． （5）设矩阵 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 2 2 1 A ，E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA = B + 2E ，则 B = ． 【解析与点评】本题主要考查矩阵运算，阶矩阵方程，求逆矩阵等. 【解】 由 BA = B + 2E ，得 B(A − E) = 2E ，于是 ( ) 1 2 − B = A − E ， ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 1 1 1 1 A E ，( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − 1 1 1 1 2 1 1 A E ，答案 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 1 1 1 B ． （ 6 ）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间 [1, 3] 上的均匀分布，由
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心【答案】】P(max(X,Y)≤1)=9111【解析与点评】 P(max(X,Y)≤1)=P(X≤1,Y≤1)=P(X≤1)P(Y≤1)=3*3"9考研大纲明确提出均匀分布是要求熟练掌握的重要分布之一，而最（大、小）值函数是要求热练掌握的随机向量的函数分布。本题是这两个重要基本知识和基本技能的结合，是我们水木艾迪历次辅导班讲课的重点。例如36计（冲刺班）的、强化班的、基础班的二、选择题（每小题4分，共32分）(7）设函数y=f(x)具有二阶导数，且f(x)>0,f"(x)>0，△x为自变量x在xo处的增量，Ay与dy分别为f(x)在点x。处对应的增量与微分，若△x>0，则【A】(A)0<dy<Ay(B) 0<Ay<dy(C) Ay<dy<0(D) dy<Ay<0【解析与点评】因为f(x)>0,则f(x)严格单调增加f"(x)>0,则f(x)是凹的，又Ar>0，故0<dy<Ay。J(h)=1,则(8）设函数f(x)在x=0处连续,且lim【c】h-=0h2(A)f(O)=0且f(O)存在。(Bf(O)=1且f(O)存在。(C)f(0)=0且f:(0)存在。(D)f(0)=1且f(0)存在【解析与点评】令x=h2，可得f(h)f(x)=1。limlimh-→0x1→0*f(x)于是 limJ(x)=limx=1.0=0=f(0)x→0*rx-→0f(x)(x)- f(0) = fi(0) =1。= lim进一步有limx-0xx→0r-0+应选C。出自水木艾迪2006考研数学冲刺班36计例4-8，例4-9，基础班例3.4，强化班第2讲例14。还可参见清华大学出版社《大学数学考研清华经典备考教程微积分上》（刘坤林、谭泽光编写）第5章综例5.3.2，例5.3.3。(9).设函数f(x)与g(x)在[0,1上连续，且f(x)≤g(x)，且对任何cE(0,l)【C】3培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055
2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 3 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 P(max{X ,Y}≤1) = 【答案】 9 1 【解析与点评】 9 1 3 1 3 1 P(max{X ,Y} ≤1) = P(X ≤1, Y ≤1) = P(X ≤1)P(Y ≤1) = × = 考研大纲明确提出均匀分布是要求熟练掌握的重要分布之一，而最（大、小）值函数 是要求熟练掌握的随机向量的函数分布。本题是这两个重要基本知识和基本技能的结合， 是我们水木艾迪历次辅导班讲课的重点。例如 36 计（冲刺班）的、强化班的、基础班的 二、选择题（每小题 4 分，共 32 分） （7）设函数 y = f (x) 具有二阶导数，且 f ′(x) > 0, f ′′(x) > 0, ∆x 为自变量 x 在 0 x 处的 增量， ∆y 与 dy 分别为 f (x) 在点 0 x 处对应的增量与微分，若 ∆x > 0 ，则【 A 】 （A）0 < dy < ∆y （B）0 < ∆y < dy （C） ∆y < dy < 0 （D） dy < ∆y < 0 【解析与点评】 因为 f ′(x) > 0, 则f (x) 严格单调增加 f ′′(x) > 0, 则f (x) 是凹的，又 ∆x > 0 ，故 0 < dy < ∆y 。 (8) 设函数 f (x) 在 x = 0处连续,且 1 ( ) lim 2 2 0 = → h f h h ,则 【 C 】 (A) f (0) = 0 且 (0) −f ′ 存在。 (B) f (0) = 1且 (0) −f ′ 存在。 (C) f (0) = 0 且 (0) +f ′ 存在。(D) f (0) = 1且 (0) +f ′ 存在 【解析与点评】令 2 x = h ，可得 1 ( ) lim ( ) lim 0 2 2 0 = = → → + x f x h f h h x 。 于是 x x f x f x x x = ⋅ → + → + ( ) lim ( ) lim 0 0 = 1⋅ 0 = 0 = f (0) 进一步有 (0) 1 0 ( ) (0) lim ( ) lim 0 0 = ′ = − − = + → + → + f x f x f x f x x x 。 应选 C。 出自水木艾迪 2006 考研数学冲刺班 36 计例 4-8，例 4-9，基础班例 3.4, 强化班第 2 讲例 14。还可参见清华大学出版社《大学数学考研清华经典备考教程 微积分上》（刘坤林、谭 泽光编写）第 5 章综例 5.3.2，例 5.3.3。 （9）．设函数 f (x) 与 g(x) 在[0,1]上连续，且 f (x) ≤ g(x)，且对任何c ∈ (0,1) 【 C 】
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心(A) Jif(0)dt≥ fig(t)dt(B) ("f(t)dt≤[ig(t)dt(C) f'()dt ≥ J'g(0)dt(D) J'r()dt ≤ f'g(1)dt由f(x)与g(x)在[0,)上连续，且f(x)≤g(x)，所以ce(0,1)时g(x)-f(x)≥0 。则对任何ce(0,1)，有[(g(t)-f(t)dt≥0，即['f()dt≤fg(t)dt 。故选 D。【解析与点评】本题属于积分的保序性与比较性质的简单应用，是水木艾迪2006考研数学36计中特别强调的考点与题型。参见水木艾迪2006考研数学36计中例7-6，基础班例6.1,强化班第4讲例27等例题。(10)设非齐次线性微分方程y+Pa)y=Q()有两个的解y(x),y2(x),C为任意常数,则该方程通解是【B】(A)C[y (x)-y2 (x)]。。(B)y(x)+c[y()-2(x)]。(C)C[y(x)+y2(x)]。(D)y(x)+C[y(x)+y2 (x)]。【解析与点评】该题为考查线性微分方程解的结构知识的基本题。由线性微分方程解的性质可知yi(x)-y2(x)是齐次线性微分方程y'+P(x)y=0的一个非零解，C是一个任意常数，yi(x)是非齐次线性微分方程一个特解，从而由线性方程通解的结构可知y(αx)+CLy,(x)-y2(x)是方程y+P(x)y=Q(x)的通解。故选B。可参见水木艾迪2006考研数学 36 计例 111-7 等题(11)设f(x,y)与(x,y)均为可微函数，且p(x,y)0.已知(xo,y)是f(x,y)在约束[D】条件β(x,y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是（A）若f(xo,yo)=0,则,(xo,y)=0(B）若f(xo,y)=0,则f,(xo,y)0(C）若f(xo,y)0,则,(xo,y)=0(D)若f'(xo,yo)0,则f,(xo,yo)0【解析与点评】【解法1】构造格朗日函数F=f(x,J)+Λp(x,y)4培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055
2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 4 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 （A） ∫ ∫ ≥ c c f t dt g t dt 2 1 2 ( ) 1 ( ) （B） ∫ ∫ ≤ c c f t dt g t dt 2 1 2 ( ) 1 ( ) （C） ∫ ∫ ≥ 1 1 ( ) ( ) c c f t dt g t dt （D） ∫ ∫ ≤ 1 1 ( ) ( ) c c f t dt g t dt 由 f (x) 与 g(x) 在[0,1]上连续，且 f (x) ≤ g(x)，所以c ∈ (0,1) 时 g(x) − f (x) ≥ 0 。 则对任何c ∈ (0,1) ，有 ∫ − ≥ 1 ( ( ) ( )) 0 c g t f t dt ，即 ∫ ∫ ≤ 1 1 ( ) ( ) c c f t dt g t dt 。故选 D。 【解析与点评】 本题属于积分的保序性与比较性质的简单应用，是水木艾迪 2006 考研数 学 36 计中特别强调的考点与题型。参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计中例 7-6，基础班例 6.1,强化班第 4 讲例 27 等例题。 (10) 设非齐次线性微分方程 () () x x y Py Q ′ + = 有两个的解 yx y xC 1 2 ( ), , ( ) 为任意常数,则该 方程通解是 【 B 】 (A)Cy x y x ⎡ ⎤ 1 2 () () − ⎣ ⎦ 。 (B) y x Cyx y x 1 12 ( ) + − ⎡ ( ) ( )⎤ ⎣ ⎦ 。 (C)Cy x y x ⎡ ⎤ 1 2 () () + ⎣ ⎦ 。 (D) y x Cyx y x 1 12 ( ) + + ⎡ ( ) ( )⎤ ⎣ ⎦ 。 【解析与点评】 该题为考查线性微分方程解的结构知识的基本题。由线性微分方程解的性 质可知 ( ) ( ) 1 2 y x − y x 是齐次线性微分方程 y′ + P(x) y = 0的一个非零解，C 是一个任意常 数 ， ( ) 1 y x 是非齐次线性微分方程一个特解，从而由线性方程通解的结构可知 ( ) [ ( ) ( )] 1 1 2 y x + C y x − y x 是方程 y′ + P(x) y = Q(x) 的通解。故选 B。可参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计例 111-7 等题 (11) 设 f (x, y)与ϕ(x, y) 均为可微函数，且ϕ′(x, y) ≠ 0 . 已知( , ) 0 0 x y 是 f (x, y)在约束 条件ϕ(x, y) = 0 下的一个极值点，下列选项正确的是 【 D 】 （A）若 ( 0 , 0 ) 0, ( 0 , 0 ) = 0 ′ = ′ f x y f x y x 则 y （B）若 ( 0 , 0 ) 0, ( 0 , 0 ) ≠ 0 ′ = ′ f x y f x y x 则 y . （C）若 ( 0 , 0 ) 0, ( 0 , 0 ) = 0 ′ ≠ ′ f x y f x y x 则 y （D）若 ( 0 , 0 ) 0, ( 0 , 0 ) ≠ 0 ′ ≠ ′ f x y f x y x 则 y . 【解析与点评】【解法 1】构造格朗日函数 F = f (x, y) + λϕ(x, y)
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心=f,(x,y)+ap, (x,y)=0 (l)f, (x,y)+ap, (x,y)=0(2)=F, =p(x,y)=0 (xo,yo)(xo,yo)对（2）由于（xo,）0，得到=p, (xo,yo)P, (xo,yo)从而有f(xo,yo)-, (xo, )=f,(xo,yo) (o,o)当f（xo,)=0时，可推出f，（x,）（x,)=0，而由此推不出：f(xo,yo)0,或f(xo,%)=0，因而否定（A），（B)。当（x）0时，加上（x)0,可推出(x）（x）0，由此可推出: f, (xo,yo)±0。【解法2】由极值点必要条件得到)+))0dzdxP, (xo,yo)当f（αo,y)=0，及（x0o）0时，可推出,（xo,)p（xo,)=0，而由此推不出：f（xo,y%)0,或f（xo,y)=0，因而否定（A），（B)。当(xo）0时，加上（xo,）0,可推出f, (xo,yo)-, (xo,yo)=f, (xo,yo)-p, (xo,yo)+0由此可推出：f、（xo,yo）±0。因而选（D）【解法3】由多元函数条件极值点必要条件的几何意义可直接由(x,%)+0和f（xo,yo）+0，直接得到得到f,（xoy）0该题考查条件极值必要条件的一些代数性质，从代数解，除拉格伦日条件外，其它运用的都是中学代数知识，若从多元函数条件极值点必要条件的几何意义来考查，做法就很筒单，有关用这方面内容来设计的题目，可参见水木艾迪2006考研数学36计例16-1.（12）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第25培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055
2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 5 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = ′ = ′ + ′ =′ = ′ + ′ =′ ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 (2) ( , ) ( , ) 0 (1) F x y x y y x y y F f x y x x y x f x F y ϕ λϕ λϕ λ 对（2）由于 0 0 (, )0 x y y ϕ ′ ≠ ，得到 0 0 0 0 00 00 (, ) (, ) (, ) (, ) y x y f xy f x y x x y xy λ ϕ ϕ ′ ′ =− =− ′ ′ ， 从而有 00 00 00 00 (, ) (, ) (, ) (, ) xy yx f xy xy f xy xy ϕ ϕ ′′ ′′ ⋅=⋅ 当 0 0 (, 0 x f xy ′ ）= 时，可推出 00 00 (, ) (, )0 y x f xy xy ϕ ′ ′ ⋅ = ， 而由此推不出： y 00 y 00 f xy f xy ( , ) 0, ( , ) 0 ′ ′ ≠ = 或 ， 因而否定 （A）,（B）。 当 ( , 0 0 0 ≠ ′ f x x y ） 时，加上 0 0 (, )0 x y y ϕ ′ ≠ ,可推出 00 00 (, ) (, )0 y x f xy xy ϕ ′ ′ ⋅ ≠ ，由此可推 出: y ( 0 , 0 ) ≠ 0 ′ f x y 。 【解法 2】由极值点必要条件得到 0 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 x x x y f x y f x y y x dx dz = = + ′ 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 = ′ ′ = − x y x y f x y f x y y x x y ϕ ϕ 当 0 0 (, 0 x f xy ′ ）= , 及 0 0 (, )0 x y y ϕ ′ ≠ 时，可推出 00 00 (, ) (, )0 y x f xy xy ϕ ′ ′ ⋅ = ， 而由此推不 出： y 00 y 00 f xy f xy ( , ) 0, ( , ) 0 ′ ′ ≠ = 或 ， 因而否定 （A）,（B）。 当 ( , 0 0 0 ≠ ′ f x x y ） 时，加上 0 0 (, )0 x y y ϕ ′ ≠ ,可推出 00 00 00 00 (, ) (, ) (, ) (, )0 xy yx f xy xy f xy xy ϕ ϕ ′′ ′′ ⋅=⋅≠ ， 由此可推出: y ( 0 , 0 ) ≠ 0 ′ f x y 。因而选 （D）. 【解法 3】由多元函数条件极值点必要条件的几何意义可直接由 0 0 (, )0 x y y ϕ ′ ≠ 和 ( , 0 0 0 ≠ ′ f x x y ） , 直接得到得到 y ( 0 , 0 ) ≠ 0 ′ f x y . 该题考查条件极值必要条件的一些代数性质，从代数解，除拉格伦日条件外，其它运 用的都是中学代数知识. 若从多元函数条件极值点必要条件的几何意义来考查，做法就很筒 单，有关用这方面内容来设计的题目, 可参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计例 16-1. （12）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的−1倍加到第 2