高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）38 第四章 函数的连续性 s05反函数的连续性

连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的$2连续函数的性质一致连续性性质基本性质连续性第五讲反函数的连续性数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的S2连续函数的性质一致连续性性质基本性质连续性例1.若r>0,n为正整数，则存在唯一的正数xo使得x"=r.证先证存在性：因为n为正整数，所以 lim x"=+oo．由极限的保号x+8性知，存在xi，使x">r.又因为函数f(x)=x"在[0,x]上连续,且f(O)<r<f(x)，所以存在x(O,x)，使得x=r。这个x我们记为x="r(读作r的n次算术根)数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的S2连续函数的性质一致连续性性质性质连续性再证唯一性：我们只需证明f(x)=x"在[0，+）上严格递增即可.事实上，Vx,y,使0≤x<y,有y" -x" = (y-x)(yn-1 + yn-2x+...+ yxn-2 +xn->0,即 f(x)<f(y)若r>0,n为正整数，则存在唯一的正数xo使得x=r.数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的$2连续函数的性质一致连续性性质基本性质连续性例2.设f在[a,bl上连续，f([a,bD)c[a,b].证明：存在 xE[a,b],使 f(x)=xo证 由条件知a≤f(a),f(b)≤b.若a= f(a)或 b= f(b),则结论成立。现设 a< f(a),f(b)<b. 作辅助函数F(x)= f(x)-x,则 F(a)·F(b)=(f(a)-a)·(f(b)-b)<0.因f(x)在[a,b] 上连续,故F(x)在[a,b]上也连续由介值性定理,存在xE(a,b),使F(x)=0，即f(xo) = xo.数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

ড㓬૤ࣩݤӠॕ्֙߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ h૤ডӠࣩݤ㓬ઔ ૤ডӠفࣩݤ଑ 㓬ઔ ୊ԙ୎І૤ডӠࣩݤ ׁޯ㓬ઔ ࣩݤՅӠ ૤ড㓬 ▁৩૤ড㓬 F(x) f (x)  x, ߭ F(a)F(b) ( f (a)  a)( f (b)  b)  0. ⦄䆒 a fa fb b  ( ), ( ) .  ԰䕙ߑࡽ᭄ 䆕 ⬅ᴵӊⶹa fa fb b d ( ), ( ) . d 㢹a fa b fb ( ) ( ), ៪ ߭㒧䆎៤ゟ. ಴ f x ab () [, ] , ೼ Ϟ䖲㓁 ᬙFx ab () [ ,] . ೼ Ϟг䖲㓁 ( ) . x0 x0 f 0 ᄬ೼x ab ( , ), 0 Փ F x()0 ˈ 0 00 ᄬ೼ x ab fx x [ , ], ( ) . Փ ՟2. 䆒 f ೼[a ,b]Ϟ䖲㓁ˈf ([a ,b])  [a ,b]. 䆕ᯢ े ୊ԙ୎І૤ডӠࣩݤ ׁޯ㓬ઔ ⬅ҟؐᗻᅮ⧚ˈ

连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的S2连续函数的性质一致连续性性质基本性质连续性例3.设f(x)在区间(a，b)满足介值性,并且对于任意的实数r，f(x)=r至多有有限个解.证明：f(x)在(a,b)内连续证 只要证Vx,E(a,b),f(x)在点x,连续.对任意ε>0,由条件，方程f(x) = f(xo)+8 与f(x) = f(x)-8的解至多为有限个1.设这有限个解为{xi，xz,,xn，记S=min( Ix -x,1,I x, -xo l, ..,I xn -xo1显然S>0.数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

ড㓬૤ࣩݤӠॕ्֙߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ h૤ডӠࣩݤ㓬ઔ ૤ডӠفࣩݤ଑ 㓬ઔ ୊ԙ୎І૤ডӠࣩݤ ׁޯ㓬ઔ ࣩݤՅӠ ૤ড㓬 ▁৩૤ড㓬 ӏᛣⱘᅲ᭄ r, f (x)= r 㟇໮᳝᳝䰤Ͼ㾷. 䆕ᯢ˖ 䆕 ⬅ᴵӊ, ᮍ⿟ ( ) ( )  H x0 f x f ( ) ( )  H x0 Ϣ f x f ⱘ㾷㟇໮Ў᳝䰤Ͼ. ՟3. 䆒 f x( ) ೼ऎ䯈 (, ) a b ⒵䎇ҟؐᗻ,ᑊϨᇍѢ f x( )೼ (a ,b)ݙ䖲㓁. ( , ), ( ) . া㽕䆕x0  a b f x ೼⚍x0 䖲㓁 ᇍӏᛣH ! 0, 1. 1 2 { , , , }, n 䆒䖭᳝䰤Ͼ㾷Ў xx xn min | | ,| |, , | | , ^ ` 10 20 0 n G   xx xx xx ᰒ✊G ! 0. 䆄 ୊ԙ୎І૤ডӠࣩݤ ׁޯ㓬ઔ