导函数91导数的概念导数的定义导数的几何意义第四讲函数极值与费马定理数学分析第五章导数和微分高等教育出版社
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导函数91导数的概念导数的定义导数的几何意义函数的极值定义3如果函数 f 在点xo的某个邻域 U(xo）上对一切xeU(x) 有f(x)≤ f(xo) (或 f(x)≥ f(xo))则称函数f在xo处取得极大(或极小)值，称点xo为极大(或极小)值点．极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点，数学分析第五章导数和微分高等教育出版社
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导函数91导数的概念导数的定义导数的几何意义如图，函数 =f(x)在 Xi,X2,x4 处取极小值，在x3，Xs处取极大值由于极值是一个局部性概念，因此如果出现某一极大值反而小于另一极小值的现象,那是不y足为奇的．此y=f(x)外,在x处虽然也有水平切线，但它不a 0x1 x2 x6x3x4xs b x是极值点数学分析第五章导数和微分高等教育出版社
Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ТڿӘѽࣩݤج ݤӠج Тࣩؓݤج ڽࠃࣩݤجh ྲമˈ࠭ᮠ y fx ( ) ൘ xxx 124 , , ༴ਆᶱሿ٬ 1x 2x 3 a O x x4 b x y ƻ · y fx ( ) 5 x 6x ཆ, ൘ x6 ༴ ᱟᶱ٬⛩. ࠷㓯, նᆳн 㲭❦ҏᴹ≤ᒣ 䏣ѪཷⲴ. ⧠䊑, 䛓ᱟн ഐ↔ྲ᷌ࠪ⧠Ḁаᶱབྷ٬৽㘼ሿҾਖаᶱሿ٬Ⲵ 3 5 x x, ༴ਆᶱབྷ٬. ൘ ⭡Ҿᶱ٬ᱟањተ䜘ᙗᾲᘥ, ↔ ТڿӘѽࣩݤج
S1导数的概念导数的定义导函数导数的几何意义例11 证明：若f"(x)>0,则存在 8>0，使对任何 xE(xo,X,+S), 有(9)f(x)> f(xo).证由右导数的定义：f(x)- f(xo)f(xo)= lim>0.x-→>xx-Xo及极限保号性，可知存在8>0，使得Vx e(xo o+ 8), J(x)-f(x0) >0.x-xo再由 x>xo,得 f(x)-f(xo)>0,于是(9)式成立数学分析第五章导数和微分高等教育出版社
Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣݤ ॑࣍ਃӟݾঈ ТڿӘѽࣩݤج ݤӠج Тࣩؓݤج ڽࠃࣩݤجh ֻ11 () , , 0 f x 0 0 G 䇱᰾˖㤕 c ! ࡉᆈ൘ ! ֯ሩԫ ( , ), 0 0 օ x xx G ᴹ 䇱⭡ਣሬᮠⲴᇊѹ: 0 0 () ( ) 0 . fx fx x x ! 0 0 0 0 () ( ) ( ) lim 0 , x x fx fx f x x x o c ! ৺ᶱ䲀؍ਧᙗˈ 0 fx fx ( ) ( ). ! (9) ⭡x x !0ᗇ 0 fx fx ( ) ( ) 0, ! ТڿӘѽࣩݤج ਟ⸕ᆈ൘ G ! 0,֯ᗇ 0 0 x xx ( , ), G Ҿᱟ (9) ᔿᡀ・
S1导数的概念导数的定义导函数导数的几何意义类似地，若f(x)>0，则存在 S>0，使得Vxe(x-S, xo), f(x)< f(xo).留作习题例11说明，若f(x)存在且不等于0，则x不是f(x)的极值点。根据例11的结论，我们立即得到著名的费马定理若f(x)>0,则存在 S>0,使对任何xe(xo,x +8), 有 f(x)> f(xo).数学分析第五章导数和微分高等教育出版社
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