显然，n阶行列中的n个元素之积aa,a。构成均布项的 充分必要条件是它的行标排列i2…i,与列标排列jJ2…jn均 为n级排列. a a12413 例如，在三阶行列式 中，a12021433是一 a21 a22 a423 a31 a32 a33 个均布项，因为行标排列为123，列标排列为213，均为3级排列： 而411a12a33不是均布项，因为它的行标排列113不是3级排列. 由定义4可知，在两个均布项中，对应于某一行的两个元素属 于不同列，这两个均布项必不相同.那么，阶行列式中究竟有多 少个不同的均布项呢？ 为简化讨论，不妨设每一个均布项的行标排列都是顺序排列， 于是每一个不同的列标排列都决定一个不同的均布项.由于级 排列共有n!种，因此，n阶行列式中共有nl!个不同的均布项. 13
13 为简化讨论，不妨设每一个均布项的行标排列都是顺序排列， 于是每一个不同的列标排列都决定一个不同的均布项． 显然， 阶行列中的 个元素之积 构成均布项的 充分必要条件是它的行标排列 与列标排列 均 为 级排列． n n n n ai j ai j ai j 1 1 2 2 n i i i 1 2 n j j j 1 2 n 而 a11a12a33 不是均布项， 因为它的行标排列113不是3级排列． 例如，在三阶行列式 中， 是一 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a a12a21a33 个均布项，因为行标排列为123，列标排列为213，均为3级排列． 由于 级 排列共有 种，因此，n 阶行列式中共有 n! 个不同的均布项． n n! 由定义4可知，在两个均布项中，对应于某一行的两个元素属 于不同列，这两个均布项必不相同．那么， 阶行列式中究竟有多 少个不同的均布项呢？ n
定义5n阶行列式记作 a412 D= az d22 a2n (4) 。。 。。 am an2 ann 它的值定义为D=∑(-l)a4…a. (5) 其中aaa是D的均布项，∑表示对D中所有n!个不同的均布 项求和，=(i2…),t2=(j2…jn)分别为行、列标排列的逆序数， (-1)+称为均布项a42…an的符号因子. 在这里需要特别指出： 1°同一均布项的不同写法不会改变该项的符号因子，从 而(5)式中均布项aA22an的各元素的相互次序可以任 意排列，不会改变行列式的值. 14
14 其中 是 的均布项， 表示对 中所有 个不同的均布 项求和， 分别为行、列标排列的逆序数， 称为均布项 的符号因子． n n i j i j i j a a a 1 1 2 2 D D n! 1 1 2 2 1 2 ( ) , ( ) n n = = i i i j j j 1 2 ( 1) + − n n ai j ai j ai j 1 1 2 2 在这里需要特别指出： 1°同一均布项的不同写法不会改变该项的符号因子，从 而（5）式中均布项 的各元素的相互次序可以任 意排列，不会改变行列式的值． n n ai j ai j ai j 1 1 2 2 定义5 n 阶行列式记作 11 12 1 21 22 2 1 2 (4) n n n n nn a a a a a a D a a a = 1 2 1 1 2 2 ( 1) , (5) n n D a a a i j i j i j + 它的值定义为 = −
2°按定义5，一阶行列式a的值就是数a,对于二、三阶 行列式，按(5)式计算出的值与按“对角线法则”算出的值是一 样的，但对高于三阶的行列式，按“对角线法则”得到的均布 项个数要比（⑤）式中包含的均布项个数少许多.因此“对角线法 则”仅适用于二阶和三阶行列式，对更高阶的行列式不再适 用.3°行列式与行列式的值是两个不同的概念，但为了叙述方便 今后不加区分，所论及的行列式亦表示它的值.若两个行列式的 值相同，则说这两个行列式相等. 4°由于一个均布项中各元素之间的相互次序可以任意排列， 当我们约定所有均布项的行标排列都取顺序排列时，注意到 1=t(123.…n)=0,(5)式可改写为 D=∑（-l)a4a…a. 其中t2=(ji2…jn)
15 2°按定义5，一阶行列式 的值就是数 ，对于二、三阶 行列式，按(5)式计算出的值与按“对角线法则”算出的值是一 样的，但对高于三阶的行列式，按“对角线法则”得到的均布 项个数要比(5)式中包含的均布项个数少许多．因此“对角线法 则”仅适用于二阶和三阶行列式，对更高阶的行列式不再适 用． | a | a 3°行列式与行列式的值是两个不同的概念，但为了叙述方便， 今后不加区分，所论及的行列式亦表示它的值．若两个行列式的 值相同，则说这两个行列式相等． 4°由于一个均布项中各元素之间的相互次序可以任意排列， 当我们约定所有均布项的行标排列都取顺序排列时，注意到 1 = = (123 ) 0, n (5)式可改写为 2 1 2 1 2 ( 1) , (6) n D a a a j j nj = − 2 1 2 ( ). n 其中 = j j j
同理，如约定所有均布项的列标排列都取顺序排列，便有 D=>(-1)"dd2a 其中t=t(2…n) 例1定义上三角行列式为 a1 a12 a13 a22 423 42n D a33 (主对角线下方的元素全为0)， 证明D=a1Q22…amn 证很显然，在行列式D的所有均布项中，只要第1列的元素不 是a1,则均布项必为0，当第1列取定a1,后，第1行就不能再有元 素参加均布项了，而第2列中除a12,a22外，其余元素均为0，于是 只需考虑第2列取a22构成的均布项.同理，第3列只能取α3，依此 下去，第n列只能取anm 16
16 同理，如约定所有均布项的列标排列都取顺序排列，便有 1 1 2 1 2 ( 1) , n D a a a i i i n = − 1 1 2 ( ). n 其中 = i i i 证明 ． 例1 定义上三角行列式为 n n n n n a a a a a a a a a a D 3 3 3 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1 = D = a1 1a2 2 an n （主对角线下方的元素全为0）， 是 ，则均布项必为0，当第1列取定 后，第1行就不能再有元 素参加均布项了，而第2列中除 外，其余元素均为0，于是 只需考虑第2列取 构成的均布项．同理，第3列只能取 依此 下去，第 列只能取 ． 证很显然，在行列式 D 的所有均布项中，只要第1列的元素不 11 a 11 a 12 22 a ,a 22 a 33 a , n nn a
总之，D中除a1a22…anm外的所有均布项都为0，因此 D=(-1）2-m+12-0》a11a2…ann =a11a220nn 易知，若行式的某行（或某列）元素全是零，则行列式必为零 在(4)式定义的行列式D中，把每行都变成相同序号的列，所 得到的行 411 21 412 a22 a D=a13 423 ai3 an3 (7) 4 称为D的转置行列式： 易见，在D中处于1行j列位置的元素，在转置行列式D'中 恰处在j行i列的位置上. 17
17 易知，若行式的某行（或某列）元素全是零，则行列式必为零． 总之， D 中除 a11a22 ann 外的所有均布项都为0，因此 . ( 1) 1 1 2 2 1 1 2 2 (1 2 ) (1 2 ) n n n n n n a a a D a a a = = − + 称为 的转置行列式． 在（4）式定义的行列式 中，把每行都变成相同序号的列，所 得到的行 D 11 21 1 1 12 22 2 2 ' 13 23 3 3 1 2 , (7) i n i n i n n n in nn a a a a a a a a D a a a a a a a a = D 恰处在 行 列的位置上． 易见，在 D 中处于 i 行 列位置的元素，在转置行列式 中 j j D i