性质1行列式转置，其值不变 证设转置前后的行列式与如(4)、(7)所示.按定义5， D与D'的值都是！个均布项的代数和.任取D的一个均布项 ai aih它恰好也是D'的一个均布项.并且它在D中的行标 排列i2·in就是它在D'中的列标排列；它在D中的列标排 列jj2…jn就是它在D’中的行标排列. 因此，该项在D中和D中的符号因子相同.由于D与D 中的所有均布项连同符号因子皆可以一一对应相等，所以它们的 和亦相等，故有D=D 由性质1可知，关于行列式行的性质，对列也成立，因此关于 行列式性质的证明可以仅对行进行。 性质2行列式某行（列）的元素遍乘常数k,则行列式的值亦 18 随之k倍
18 性质1 行列式转置，其值不变． 与 的值都是 个均布项的代数和．任取 的一个均布项 它恰好也是 的一个均布项．并且它在 中的行标 排列 就是它在 中的列标排列；它在 中的列标排 列 就是它在 中的行标排列． D D D D 证 设转置前后的行列式与如（4）、（7）所示．按定义5， n! n n ai j ai j ai j 1 1 2 2 D n i i i 1 2 D D n j j j 1 2 D 因此，该项在 中和 中的符号因子相同．由于 与 中的所有均布项连同符号因子皆可以一一对应相等，所以它们的 和亦相等，故有 D D= . D D D D 性质2 行列式某行（列）的元素遍乘常数 ，则行列式的值亦 k k 随之 倍． 由性质1 可知，关于行列式行的性质，对列也成立，因此关于 行列式性质的证明可以仅对行进行
证 设行列式D的第i行元素遍乘常数k后得到的行列式 为D,即 an a12 a11 a12 D=a ☑12 ain ,D= ka kaj2 … an2 an an2 对于D的任何一个均布项aa22…a…a，D,中相应位置 的元素之积4a22(ka)ann也构成D,的一个均布项，二者 有相同的符号因子，但在数值上后者是前者的k倍. 由于D与D,中所有均布项可以这样一一对应起来，故有 ∑(-1Pa4。…(ka)…a,=k∑（-l)Pa4h…a…a., 即 D =kD. 19
19 证 设行列式 的第 行元素遍乘常数 后得到的行列式 为 ，即 D i k D1 n n n n i i in n a a a a a a a a a D 1 2 1 2 1 1 1 2 1 = 11 12 1 1 1 2 1 2 , . n i i in n n nn a a a D ka ka ka a a a = D D1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( 1) ( ) ( 1) . i n i n j j ij nj j j ij nj a a ka a k a a a a D kD − = − = ， 即 由于 与 中所有均布项可以这样一一对应起来，故有 的元素之积 也构成 的一个均布项，二者 D i njn a j a j aij a 1 1 2 2 D1 i n jn a j a j (kaij )a 1 1 2 2 D1 有相同的符号因子，但在数值上后者是前者的 k 倍． 对于 的任何一个均布项 ， 中相应位置