§6 Taylor公式 、问题的提出 1、设∫(x)在x处连续,则limf(x)=∫(x) 即f(x)=f(x)+a∫(x)≈f(x) 设f(x)在x处可微,则 f(x)=f(x0)+∫(x0)(x-x)+0(x-x 即f(x)≈∫(x0)+f(x0)(x-x0)
1 §6 Taylor 公式 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x 一、问题的提出 ( ) ( ) 0 f x f x 0 0 0 0 f x f x f x x x x x ( ) ( ) ( )( ) 0( ) 1、设 f (x) 在 x0 处连续，则 0 即 f x f x ( ) ( ) 2、设 f (x) 在 x0 处可微，则 0 0 0 即 f x f x f x x x ( ) ( ) ( )( )
例如,当x很小时,e≈1+xm(1+x)≈x y=In(1+x) 和=1+x 精确度不高误差不能估计
2 x y e y 1 x o x y e o y x y ln(1 x) 精确度不高 误差不能估计 例如，当 x 很小时， 1 x e x ln(1 ) x x
寻找函数P(x),使得∫(x)≈P(x) 且误差R(x)=f(x)-P(x)可估计。 由于多项式是一类比较简单的函数,故往往 用其近似代替复杂的函数作运算。 带Peno余项的 Taylor公式 函数∫在x处n阶可微,试找出一个关于 x-x0的n阶多项式 ao+a1(x-x)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0) 使此多项式与∫之差是比(x-x0y高阶的 无穷小
3 寻找函数 P (x) ，使得 f x P x ( ) ( ) 且误差 R (x) = f (x) – P (x) 可估计。 由于多项式是一类比较简单的函数，故往往 用其近似代替复杂的函数作运算。 二、带 Peano 余项的 Taylor 公式 函数 f 在 x0 处 n 阶可微，试找出一个关于 x - x0 的 n 阶多项式 n a a (x x ) a (x x ) an (x x )0 2 0 1 0 2 0 使此多项式与 f 之差是比 ( x - x0 ) n 高阶的 无穷小
假设成立着: ∫(x)=∑a1(x-x)+0(x-x0)(*) i=0 讨论多项式∫(x)各项的系数a1与f(x)的关系 lim f(x)=lim i>a, (x-xo)'+o((x-xo)") x→x f(x)=a0代入(*)式,移项后得 ∫(x)-f(x0) ∑a(x-x0)24+0(x n X-x f(x)-∫(x 02= limda(x +0(x-x0 x→>ro x-x x→x i=1 →f(x)=a1
4 0 0 0 ( ) ( ) (( ) ) ( ) n i n i i f x a x x o x x lim ( ) lim[ ( ) (( ) )] 0 0 0 0 0 i n n i i x x x x f x a x x o x x ( ) x0 f ( ) (( ) ) ( ) ( ) 1 0 1 0 0 1 0 i n n i i a x x o x x x x f x f x a0 lim [ ( ) (( ) )] ( ) ( ) lim 1 0 1 0 0 1 0 0 0 i n n i i x x x x a x x o x x x x f x f x 假设成立着： 讨论多项式 f (x) 各项的系数 ai与 f (x) 的关系 代入 （ ） 式，移项后得 0 1 f (x ) a
把a、a1代入(*)式,移项后得 ∫(x)-f(x0)-f(x)(x-x0) ∑n(x-xn)2+0(x-x)"2 C-d 2 f(x)-∫(x lir n)-f(xn(x=x)=lm∑1(x-x)y2+0(x-xn)"2 x-x (x-x0) L Hospital lim f(x)-f'(ro)1 X→x02(x-x0) f"(x0)=a2 依此类推可得 ∫(x)k=0, !
5 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 2 2 0 0 0 0 i n n i i a x x o x x x x f x f x f x x x lim [ ( ) ( ( ) ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 2 0 2 0 2 2 0 0 0 0 0 0 i n n i i x x x x a x x o x x x x f x f x f x x x LHospital 2( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 x x f x f x x x ( ) 2 1 x0 f a2 f x k n k a k k ( ) 0,1, , ! 1 0 ( ) 0 1 把 a a 、 代入 （ ） 式，移项后得 依此类推可得