复旦大学：《高等数学》课程电子课件讲义_第二章 微分与导数 导数的概念2.1

★第三章撒分与辱数

1 第二章 微分与导数

§1微分与导数的概念 微分的原始思想在于寻找一种方法,当因变量 的改变很微小时,能够精确而又简便地估计出这个改 变量。 问题的提出 实例:求第一宇宙速度 设某时刻卫星处于地球表面附近的点A (见图)其运动速度沿圆周切线方向,一秒钟 卫星受运动到点C,求:维持卫星作环绕地球的 飞行所需的最低速度v

2 §1 微分与导数的概念 微分的原始思想在于寻找一种方法, 当因变量 的改变很微小时,能够精确而又简便地估计出这个改 变量。 实例：求第一宇宙速度 设某时刻卫星处于地球表面附近的点 A （见图）其运动速度沿圆周切线方向，一秒钟后， 卫星受运动到点 C ，求：维持卫星作环绕地球的 飞行所需的最低速度 v . 一、问题的提出 B o A C

B 解:OA和OC近似地取为地球的平均半径 6371000m,BC为自由落体在第一秒 飞过的路程,即BC=g12=49(m AB长度为卫星的最小飞行速度的大小。 点O、B、C大致在一条直线上,故 AB2=(6371000+49)2-63710002 显然,计算量甚大,即使用计算机(字长较短) 计算也可能产生误差。将上式改写为 AB2=2×6371000×49+49 可见第二项远远小于第一项,以至于可忽略不。 所以,把计算简化为:AB2=2×6371000×49≈7.9km 维持卫星作环绕地球的飞行所需的最低速度: v≈79km/s

3 B o A OA 和 OC 近似地取为地球的平均半径 C BC 为自由落体在第一秒 飞过的路程，即 1 2 1 4.9 ( ) 2 BC g m    点 O 、B 、C 大致在一条直线上，故 6 371 000 m， 解： AB 长度为卫星的最小飞行速度的大小。 2 2 2 AB    (6371000 4.9) 6371000 显然，计算量甚大，即使用计算机（字长较短） 计算也可能产生误差。将上式改写为 2 2 AB     2 6371000 4.9 4.9 可见第二项远远小于第一项，以至于可忽略不计。 所以，把计算简化为： 2 AB km     2 6371000 4.9 7.9 维持卫星作环绕地球的飞行所需的最低速度： v km s  7.9 /

对AB2作几何解释 作一个边长为x=O4的正方形,当边长由x0变 化到x+Ax,△x=BC,记其面积为A=x2, △4=(x0+△x)2-x2 =2xn·△x+(△x)2 △x △x的线性函数o(△x)高阶无穷小) △x-→>0时,△用2x△x近似代替, 即△4≈2xAx这就是微分概念。 此式有两个优点 1)2x△x是△x的一次线性函数,便于计算; 2)当Ax很小时,△A与2x△x的误差有良好的精度

4 2 A  x0 x0 x0 x x 2 (x) x0x x0x 2 0 2 0 A  (x  x)  x 2 0  2x x  (x) 2 对 AB 作几何解释： 0 作一个边长为 x OA 0  的正方形，当边长由 x 变   x BC ，记其面积为 A x  0 2 ， 这就是微分概念。 0 化到 x x   ，  x 的线性函数  o(x （高阶无穷小） )      x A x x 0 2 时， 用 近似代替， 即    A x x 2 此式有两个优点： 1) 2x x x   是 的一次线性函数，便于计算； 2) 当 x 很小时，  A x x 与 2 的误差有良好的精度

微分的概念 1、定义设函数y=f(x)定义于U(x,8),如果存 在常数k,pf(x+△x)-f(x)=kAx+0(△x) 则称函数∫在x处可微,且称k△为y=f(x) 在x处的微分。记作 小y=M△xord(x)=Ax 说明:1)k仅与x有关而与△无关,k=k(x) 2)d是△x的线性函数 3)4-=0(△x)是比△高阶无穷小 4)当△很小时,A≈ 小是合y的线性主部

5 二、微分的概念  f (x  x) f (x)  kx  o(x) dy  kx or df (x)  kx 1、定义设函数 y = f (x) 定义于 U x( , )  ，如果存 在常数 k ， 则称函数 f 在 x 处可微，且称 k x 为y = f (x) 在 x 处的微分。记作 说明：1）k 仅与 x 有关而与   x k k x 无关， ( ) 2）dy 是 x 的线性函数 3）      y dy o x x ( ) 是比 高阶无穷小 4）当 x 很小时，  y dy dy y 是  的线性主部