§4连续函数 大现实世界中”连续不断”的现象在数学上的反映, 就是函数的连续性。 大函数连续的直观意义:当自变量在某点处有微小 变化时,函数也在此点处有微小的变化。 大微积分讨论的对象主要是连续函数或只有个别间 断点的函数
1 §4 连续函数 ＊现实世界中”连续不断”的现象在数学上的反映， 就是函数的连续性。 ＊函数连续的直观意义：当自变量在某点处有微小 变化时，函数也在此点处有微小的变化。 ＊微积分讨论的对象主要是连续函数或只有个别间 断点的函数
函数在一点的连续性 1、函数的增量 设函数∫在U(x,)有定义,Vx∈U。(x0), 设△x=x-x0,称为自变量在点x的增量, 而△y=f(x)-f(x0) 称为函数f(x)相应于△x的增量 y=f(x) y=f(r) △ △y △x △x xa+△xx +△ry
2 一、函数在一点的连续性 设x x x0 ( ) ( ) x0 而y f x f 1、函数的增量 x y 0 0 x x0 x y f (x) x y x y 0 0 x x0 x x y y f (x) ( ), 设函数 xU x0 f 在 U x( , ) 0 有定义， 0 ，称为自变量在点 x 的增量， 称为函数 f (x) 相应于 x 的增量
2、定义 1)设函数∫在U(x0,6)有定义,△x=x-x △y=f(x+△x)-f(x0)如果lm△=0 则称函数∫在x处连续,或称xo是∫的连续点 兮2)limf(x)=f(x) 台3)VE>0,3δ>0,当x-x<8时(x∈U(x0,D) f(x)-f(x0)<6 4)Vn) xn∈U(x0,6) f(n=f(xo) xn→>X(n→>) n→0
3 ( ) ( ) 0 x0 y f x x f lim 0 0 y x 如果 0 0 2) lim ( ) ( ) x x f x f x 3) 0, 0 ， ( ) ( ) x0 f x f 0 0 ( , ) 4) ( ) n n n x U x x x x n lim ( ) ( ) x0 f x f n n 2、定义 x x x0 当 x x0 时 ( ( , )) xU x0 1）设函数 f 在 U x( , ) 0 有定义， 则称函数 f 在 x0 处连续，或称 x0 是 f 的连续点
例1、证明f(x)=a2(a>1)在vx∈(∞+)连续 证:即证ⅤE>0,3δ>0,Vx∈U(x,6)a2-a|<E 1. lima=1 x→0 由连续的等价定义得 VE>0,38>0,vx∈U(0,8)2-1<E x→0,即x→xx∈U(x0,δ)3-1<6 对于E >0彐8>0ax-0-1<E 1<a e=a Vx∈U(x0,δ) ∫(x)=a(a>1)在x0∈(-∞,+)连续
4 x x0 a a lim 1 , 1 0 0 ' ' a a x x ' 0, 0, 0 ' x 0,即 x x 0 0 x a 对 于 ’ ' 1 0 x x a 1 0 0 x x x a a ( , ) xU x0 0 x a ( , ) xU x0 x x0 a a (0, ) ' x U 0 ' 1 ' x a 1 x x0 a 0 ( ) ( 1) ( , ) x 例1、证明 f x a a x 在 连续 证：即证 0, 0, 由连续的等价定义得 x x0 a a ' 0 x 0 0 1 a x x x a a ( , ) xU x0 0 0 x x a a 0 ( ) ( 1) ( , ) x f x a a x 在 连续
3、性质 1)如果函数∫和g在x0处连续, 和∫+g 则两个函数的差f8在x处连续, 积∫g 商∫g(g(x)≠0) 证.Ch)xx f(x)=∫(x0) ling(x)=g(xo) imLf(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x) x→x r-co x→x f(x)±g(x) fg在x0处连续,同理可证积商 5
5 3、性质 0 1）如果函数 f 和 g 在 x 处连续， 则两个函数的 和 f + g 差 f - g 积 f g 0 商 f g ( ( ) 0 ) g x 在 x0 处连续， 证： ( ) x0 f 、gC lim ( ) ( ) 0 0 g x g x x x lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x lim ( ) ( ) 0 f x g x x x ( ) ( ) x0 g x0 f lim ( ) lim ( ) 0 0 f x g x xx xx ∴ f±g在x0处连续，同理可证积商