二、函数的极值 驻点:满足∫(x)=0的点 注意:1)极值点小>驻点 2)极值点只可能出现在函数的驻点 或不可导点之中。 例4、∫(x)=x3,f(x)=x3在点x=0的情况
6 二、函数的极值 注意: 驻点： 满足 f x ( ) 0 的点。 1）极值点 2）极值点只可能出现在函数的驻点 或不可导点之中。 3 例4、 f x x ( ) ， 在点 x = 0 的情况。 2 3 f x x ( ) 驻点
定理(极值第一充分条件) 设函数f(x)在U内连续,且可导(x0可除外), 则1)若在(x0-δ,x)时,f(x)≥0 而在(x,x+)时,∫(x)≤0 →f(x)在x取到极大值,x为极大值点; 2)若在(x-8,x0)时,∫(x)≤0 而在(x,x+)时,f(x)≥0 →f(x)在x取到极小值,x为极小值点 3)若在x≠x0时,∫(x)≥0(orf(x)≤0) →f(x)在x没有极值
7 定理(极值第一充分条件) f x ( ) 0 f x ( ) 0 f x ( ) 0 ( ( ) 0) or f x 0 设函数 U( ) x f (x) 在 内连续，且可导（x0 可除外）， 0 0 则1）若在 ( , ) x x 时， 0 0 而在 ( , ) x x 时， f (x) 在 x0 取到极大值，x0 为极大值点； f x ( ) 0 0 0 2）若在 ( , ) x x 时， f x ( ) 0 0 0 而在 ( , ) x x 时， f (x) 在 x0 取到极小值，x0 为极小值点； 0 3）若在 x x 时， f (x) 在 x0 没有极值
(是极值点情形) (不是极值点情形) 上例1(PPT6) (-∞0)0(0,2)2(2,4)4(4,+∞) ∫无定义没有极值\f1(4)=2
8 ( , 0) (0, 2) (2, 4) (4, ) f f 0 2 4 min f (4) 2 x y o x y x0 o 0 x (是极值点情形) x y o 0 x 0 x x y o (不是极值点情形) 上例1（PPT 6） 无定义 没有极值
定理(极值第二充分条件) 设函数f(x)在点x具有二阶导数,且f(x)= 则1)若∫(x)<0时,x0为f(x)极大值点; 2)若∫"(x)>0时,x为f(x)极小值点; 3)若∫"(x0)=0时,则不能判定x是否为极值点 证:1)∵f(x)=0,由在x=x0的 Taylor公式, f(x)=f(x)+f(x)(x-x)+f"(x)(x-x)2+0(x-xn)2) f(x)+f"(x0)(x-x0)2+0(x-x)2) f∫(x)-f∫( 0(x-x xo)+ x- r- 0 m f(x)-f(xo ∫"(x0)<0 x→>0 r-
9 0 f x ( ) 0 定理(极值第二充分条件) 设函数 f (x) 在点 x0 具有二阶导数，且 0 则1）若 f x ( ) 0 时， x0 为f (x) 极大值点； 0 2）若 f x ( ) 0 时，x0 为f (x) 极小值点； 0 3）若 f x ( ) 0 时，则不能判定 x0 是否为极值点。 证：1） 2 2 0 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) (( ) ) 2 f x f x f x x x f x x x o x x 0 0 f x ( ) 0 , 由在 x = x0 的 Taylor 公式， 2 2 0 0 0 0 1 ( ) ( )( ) (( ) ) 2 f x f x x x o x x 2 0 0 2 2 0 0 0 ( ) ( ) (( ) ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) f x f x o x x f x x x x x 0 0 2 0 0 ( ) ( ) 1 lim ( ) x x ( ) 2 f x f x f x x x
由保号性得f(x)-f(x<0 r- f(x)<f(x0) ∴x为f(x)极大值点; 同理可证2)、3) 例5、求函数f(x)=nx(1-x)"n∈Z+在(0,1)内的 极值M(m),并计算lmM(m) → 10
10 同理可证 2）、3）. 由保号性得 0 2 0 ( ) ( ) 0 ( ) f x f x x x 0 f x f x ( ) ( ) ∴ x0 为f (x) 极大值点； 例5、求函数 f x nx x n Z ( ) (1 ) n 在 (0, 1) 内的 极值 M(n) , 并计算 lim ( ) . n M n