§3函数的极限 大数列极限是定义在正整数集上的函数当自变量 趋于无穷大时的极限。 大函数极限是定义在实数集上的函数当自变量连 续地趋于某个值(有限或无限)时的极限 海豹
1 §3 函数的极限 ＊数列极限是定义在正整数集上的函数当自变量 趋于无穷大时的极限。 ＊函数极限是定义在实数集上的函数当自变量连 续地趋于某个值(有限或无限)时的极限。 海豹
自变量趋于有限值时函数极限 定义:(精确的) 如果对任意给定的正数E>0,总存在δ>0, 使得当0<x-x<8时,有f(x)-4<E 则称∫(x)在x→>x0时,以A为极限 记为limf(x)=A 定义:(通俗的) 设函数∫在U(x0,6)有定义(点x可除外), 当x→x时,函数f(ax)无限地接近于常数A, 即f(x)-A趋于0, 则称∫(x)在x→x时,以A为极限
2 一.自变量趋于有限值时函数极限 f x A ( ) 定义: （精确的） 如果对任意给定的正数 0 ，总存在 0 ， 0 使得当 0 x x 时，有 0 则称 f x x x ( ) 在 时，以 A 为极限。 f x A x x lim ( ) 0 记为 定义: （通俗的） 设函数 f 在 U x( , ) 0 有定义（点 x0 可除外）， 当 x x 0 时，函数 f (x) 无限地接近于常数 A ， 即 f (x)- A 趋于 0 ， 0 则称 f x x x ( )在 时，以 A 为极限
定义:(数列极限的形式) limf(x)=A分对任意收敛于x的数列{x}, x→>xo 其中xn≠x,=1,2, 均有lm∫(xn)=A n→)0 邻域的定义:对A的任何E邻域,存在x的某个 δ邻域,当x属于该邻域而非x时,f(x)落在A的 E邻域中,也即: y=∫(x 对E>0,彐8>0, A+a 当x∈U(x0,)且x≠x时,A2 f(x)∈U(A,E) lim∫(x)=A +6 x→>x0
3 f x A x x lim ( ) 0 定义: （数列极限的形式） 0 , 1,2, n 其中 x x n lim ( ) n n f x A 均有 邻域的定义: 对 A 的任何 邻域，存在 x0 的某个 对任意收敛于 x0 的数列 x n ， 邻域，当x 属于该邻域而非 x0 时，f (x)落在A 的 邻域中，也即： f x U A ( ) ( , ) f x A x x lim ( ) 0 对 0, 0, 0 0 当 x U x x x ( , ) 且 时， y f x ( ) A A A 0 x 0 x0 x x y o
极限的性质 1、定理(极限的四则运算) 若limf(x)与img(x)均存在, x→>x0 x→x 则:)lm[f(x)±g(x)=imf(x)士mg(x) 2)lim[f(x).(x)=lim f(x). lim g(x) 0 lim f() 3)li f(r) x→x (只要img(x)≠0) g(x) lim g(x) x→X0 x→x 4
4 二.极限的性质 0 2) lim ( ) ( ) x x f x g x 0 ( ) 3) lim ( ) x x f x g x lim ( ) lim ( ) 0 0 f x g x xx xx lim ( ) lim ( ) 0 0 f x g x xx xx lim ( ) lim ( ) 0 0 g x f x x x x x ( lim ( ) 0) 0 g x x x 只要 海星 1、定理(极限的四则运算) 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x 若 与 均存在， 0 1) lim ( ) ( ) x x f x g x 则：
证明:1)设limf(x)=Aimg(x)=B x→x 由数列极限形式的定义得: 对y X.≠y 0 均有Iim∫(xn)= A ling(xn)=B n→00 n→0 limf(xn)±g( n→0 limf(xn)±limg(xn)=A±B n→0 再由数列极限形式的定义得 in/(x)±g(xl=A±B=im(x)±im(x) 同理可证2)、3)
5 对 xn A B lim ( ) ( ) 0 f x g x x x xn x0 0 limxn x n lim ( ) ( ) n n n f x g x lim ( ) lim ( ) n n n n f x g x A B lim ( ) lim ( ) 0 0 f x g x xx xx 证明： 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x A g x B 1）设 由数列极限形式的定义得： lim ( ) lim ( ) n n n n f x A g x B 均有 再由数列极限形式的定义得： 同理可证 2）、3）