§7.1点估计 有两种典型的点估计方法： ·矩估计法和最大似然估计法 (一)矩估计法 0 它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计 方法 是英国统计学家K皮尔逊最早提出的 其基本思想是用样本矩估计总体矩 ·理论依据是大数定律 7/103
7/103 §7.1 点估计 有两种典型的点估计方法： ⚫ 矩估计法和最大似然估计法 (一)矩估计法 ⚫ 它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计 方法 ⚫ 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 ⚫ 其基本思想是用样本矩估计总体矩 ⚫ 理论依据是大数定律
§7.1点估计 可以通过构造样本矩来构造估计量，因为总体矩 总可以表示为未知参数的函数，如果令总体矩等 于样本矩的观察值，则构建了一个等式 ⊙设X为连续型随机变量，概率密度为 fx;01,02,,0) ⊙或X为离散型随机变量，其分布律为 P{X=x}=pK;01,02,,0k) 。其中01,02,0k为待估的k个未知参数， 0X1,X2…,Xn是来自总体X的样本 8/103
8/103 §7.1 点估计 可以通过构造样本矩来构造估计量，因为总体矩 总可以表示为未知参数的函数，如果令总体矩等 于样本矩的观察值，则构建了一个等式 设X为连续型随机变量，概率密度为 f(x; θ1 , θ2 ,…, θk ) 或X为离散型随机变量，其分布律为 P{X=x}＝p(x; θ1 , θ2 ,…, θk ) ⚫ 其中θ1 , θ2 ,…, θk为待估的k个未知参数， ⚫ X1 ,X2 ,…,Xn是来自总体X的样本
§7.1点估计 ⊙假设总体X的前阶总体矩存在，记为41,2…k, 其中对任意的u有 X为连续型：4=EX)x'f(x;8,0,,0)c ●】 或离散型：41=EX9∑xp(x8,8,…,8) 它们都是待估参数01,02，，0k的函数，写成方程 组得「 41=41(81,81,…,8) 42=2(81,8,…,84) 4k=4k(8,01,,0) 9/103
9/103 §7.1 点估计 假设总体X的前k阶总体矩存在，记为μ1 , μ2 ,…,μk， 其中对任意的μl有 X为连续型：μl＝E(Xl )＝ 或离散型：μl＝E(Xl )＝ 它们都是待估参数θ1 , θ2 ,…, θk的函数，写成方程 组得 − x f x k dx l ( ; , , , ) 1 1 ( ; , , , ) 1 1 1 i k i l xi p x = = = = ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 k k k k k
§7.1点估计 一般情况下，包含k个未知参数的方程组可以求出k个未知 参数，即9=8(4,41，…，4k) 82=82(41,41,…,4k) 0=0(4h1,41,…,4k) 但总体矩的形式容易求得，即待估参数的函数，但实际值 未知，而我们有辛饮定理的推论，即 若总体X的k阶矩E(X)=4x存在，则由辛软定理，当→o 时，样本k阶矩Ak=二∑XP→k,k=1,2,…, n i=1 由依概率收敛的性质知道 g(A1,A2,,A)P→g(41,42,4),g为连续函数 10/103
10/103 §7.1 点估计 一般情况下，包含k个未知参数的方程组可以求出k个未知 参数，即 但总体矩的形式容易求得，即待估参数的函数，但实际值 未知，而我们有辛钦定理的推论，即 若总体X的k阶矩E(Xk )＝μk存在，则由辛钦定理，当n→∞ 时，样本k阶矩Ak μk，k＝1,2,…， 由依概率收敛的性质知道 g(A1 , A2 ,…, Ak ) g(μ1 , μ2 ,…, μk )，g为连续函数 = = = ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 k k k k k = ⎯→ = P n i k Xi n 1 1 ⎯⎯P →
§7.1点估计 因此我们就以样本阶矩A代替上式中的总体阶矩w,1= 12,..k,并以 0,=0,41,A2,A),1=1,2k 作为未知参数0的估计量，1=1,2，..k,这种估计量称为矩 估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值 9矩估计法定义： 象以上过程那样，基于样本矩依概率收敛于总体矩， 并进而有样本矩的连续函数依概率收敛于总体矩的连续函 数的性质，而用样本矩（或样本矩的连续函数)作为相应 的总体矩（或总体矩的连续函数）的估计量，这种估计方 法称为矩估计法。 11/103
11/103 §7.1 点估计 因此我们就以样本l阶矩Al代替上式中的总体l阶矩μl，l＝ 1,2,…k，并以 ＝ (A1 , A2 ,…, Ak ) ，l＝1,2,…k 作为未知参数 的估计量，l＝1,2,…k，这种估计量称为矩 估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值 矩估计法定义： 象以上过程那样，基于样本矩依概率收敛于总体矩， 并进而有样本矩的连续函数依概率收敛于总体矩的连续函 数的性质，而用样本矩（或样本矩的连续函数）作为相应 的总体矩（或总体矩的连续函数）的估计量，这种估计方 法称为矩估计法。 l ˆ l l