第一章一元函数极限 导读极限是考研热点问题，适合多类读者， 内容提要极限论是数学分析的基础.极限问题是数学分析 中困难问题之一.中心问题有两个：一是证明极限存在，二是求极 限的值.两问题有密切关系：若求出了极限的值，自然极限的存在 性也被证明.反之，证明了存在性，常常也就为计算极限铺平了 道路. 讲述极限论，通常先讲序列极限，然后讲函数极限.两类极限， 有平行的理论，类似的方法，彼此有着深刻的内在联系.这些读者 已很熟悉.这里，我们希望在技巧和难度上，以较高的水准来综合 讨论极限的两大问题. §1.1函数 函数（映射）的概念大家已十分熟悉，这里只讲几点值得注意 的问题 *一、关于反函数 1°设X、Y为给定集合，所谓∫是函数f:X→Y的反函数， 意指：f1的定义域为f(X),且Vx∈X,有f1(f(x)=x.即复 合函数f1。f:X→f(X)→X是X上的恒等变换.此时f也是 f1的反函数.故 (f-1)1=f (A)
这表明Hy∈Y,有f(f1(y))=y,ff1是Y上的恒等变换. 2°若函数f:X→Y,g:Y→Z都是双射（既是单射又是满射） [注：单射指由x1主x2可推出f(x1)卡f(x2)(Hx1,x2∈X);满 射指：Hy∈Y,3x∈X使得f(x)=y.],又f1、g1分别是f、g 的反函数，则f1。g必是gf的反函数.即 (gf)-1=f1g1. (B) 事实上，Hx∈X,由之=g(f(x)可得 g1(之)=g1(g(f(x)=f(x),进而有f1(g1(之)= f1(f(x))=x.故f1·g1是g°f的反函数， 严格单调的满射，必有反函数.且∫严增时，f也严增.严减 亦然. 例1.1.1设f:R→R严增，f1是其反函数，x1是f(x)+x =a的根，x2是f1(x)+x=a的根.试求x1+x2的值. 解因f(x1)+x1=a,f1。f是恒等变换，知f(x,)+ f1[f(x1)]=a.此即表明f(x1)是方程f1(x)+x=a的根. 但由于f严增，可知f(x)+x也严增，方程f1(x)+x=a有 根必唯一.故f(x1）=x2,因而x1+x2=x1+f(x1)=a. 注讨论反函数，与所讨论的范围有密切关系.例f(x)= √x,g=x2,当用它们定义函数f:R→R,g:R→R时，则f不是满 射，g不是单射.但作为函数f:[0,+∞)→[0，+∞)，g:[0,+∞） →[0，+∞)二者都是双射，且互为反函数： 二、奇函数、偶函数（设1为有限正数或+∞） （~1,)上定义的函数f为偶函数，指： Hx∈(-l,l)有f(-x)=f(x). g为奇函数，指： Hx∈(-l,l)有g(-x)=-g(x). 例1.1.2若f是(-1,1)上的奇函数，并且有反函数f1, ·2…
则f1也是奇函数， 证因Hx∈(-l,l)有f(f1(-x)=-x,于是 x=-∫(f(-x)=f(-f(-x), f(x)=f1(f(-f1(-x)=-f1(-x). 即表明f1(x)是奇函数. 例1.1.3若f1为f的反函数，y=f1(-x)是y= f(-x)的反函数，试证f(x)是奇函数 证Iy=f1(-x)实为f1与g(x)≡-x的复合函数.即 f1(-x)=f(g(x)=(f1·g)(x), (1) 同理 f(-x)=f(g(x))=(f°g)(x). (2) 按题设条件，f1·g与f°g互为反函数，因此 g=(1g）1@g15, (3) (2) (3) 即Vx∈（-1，l)有f(-x)=(fg)(x)=(g1·f)(x)= -f(x). 所以f是奇函数. 证Ⅱ由y=f1(-x)可得f(y)=-x,即x=-f(y).这 表明，像点y=∫1(-x)找出它的原像是x=-f(y).即y= -f(x)是y=f1(-x)的反函数.但题中告诉我们y= f1(-x)是y=∫(-x)的反函数，故应有f(-x)=-f(x), Vx∈(-1，l),f是奇函数 证亚已知y=f1(-x)是y=f(-x)的反函数，表明y= f(-x)台x=f1(-y).因此Hx∈R有f(x)=f(f1(-y)= 一y=-f(-x).所以f为奇函数. 注用类似方法也可先证明1(x)是奇函数，然后利用例 1.1.2的结果，推知f(x)是奇函数. ☆例1.1.4试证：任一对称区间(-l,1)上的任一函数 f(x),总可以表成一偶函数H(x)与一奇函数G(x)的和，而且此 种表示法是唯一的.（合肥工业大学） ·3
分析假设已找到如此的奇、偶函数G(x)、H(x),使得 f(x)=H(x)+G(x),用-x替代其中的x,有 f(-x)=H(x)-G(x). 如此我们看到，不仅f(x)是它们的和，而且f(-x)是它们的差. 算术中的和差问题：（和+差）÷2=大数，（和-差）÷2=小数.可 知 H(x)=f(z)+f(-x) 2 (1) G(x)=f(x)-f(-x) 2 (2) 这就证明了，H(x)、G(x)若存在必唯一.反之用以上(1)、(2)两 式定义出来的H(x)、G(x),显然符合全部条件，所以存在性成 立，f(x)=H(x)+G(x). 三、周期函数 所谓f(x)是R上定义的周期函数，指存在实数T,使得x ∈R,有f(x+T)=f(x).这时T称为f的周期.显然此时T的 任意整倍数mT亦为f的周期.若已知T,、T2为f的周期，则 T:±T2也必为f的周期. 是否任何周期函数一定存在最小正周期，当然不是，如常数函 数.除常数之外呢？也不是.如在无理点上取值0，有理点上取值1 的Dirichlet函数D(x),显然对每个自然数n,“1"都是D(x)的 正周期，无最小正周期. 在下章例2.1.10中我们将证明：连续的周期函数必有最小正 周期.下面看一个求周期的问题. 例1.1.5设f(x)是R上的有界实函数，且 fx+)+f(x)=f(红+)+f(x+号) (Vx∈R) 试求出f的较小的正周期， ·4 ，弄：发等：在
解已知f(x+右)f(x)=f(红+2)-f(x+号），记 F(x)=f(x+名）-f(x),记T=号，上式即为 F(x十T)= F(x)(Hx∈R),故T为F的周期.由此 +-2r(+n+ =nF(x)+f(x)(Vn∈N,). 若F(x)卡0，令n→+∞可知f(x+nT)→±∞，与f有界矛盾. 因此Hx∈R应有F(x)=0,即f(x+T)=f(x)(Hx∈R).故 T=是f的一个正周期. 类似可证了，=石也是了的正周期.从而后-号=立也是于 的正周期.可见立是较小的正周期。 读者能否找出更小的正周期？感兴趣的读者可作进一步的讨 论. 、 例1.1.6设T是f的最小正周期，y=f1（x)是f在 (0,T)部分的反函数.试求f在(-T,0)部分的反函数、 解Vx∈(-T,0)(目标：要用c的像点y表示x),则x+ T∈(0，T),f(x)=f(x+T)=y(像点已找到)，因f1(x)是f 在(0，T)上的反函数，所以f1(y)=x+T.即x=f1(y)-T (目标已达到).可见y=f1(x)-T是f(x)在(-T,0)部分的反 函数、 注 类似可证：V整数m,f在(m,m+T)部分的反函数为 y=f(x)+mT. ☆四、几个常用的不等式 不等式是数学分析中的重要问题之一，今后还要进行专题讨 ·5·