序 十七世纪上半叶笛卡儿(R.Descartes)引进了变量，在 此基础上，紧接着十七世纪下半叶牛顿(I.Newton)、莱布 尼兹(S.W.Leibnigz)创建了微积分。于是，数学从经历 了漫长的二千年之久的初等数学阶段氏进到了变量数学的新 时期。正如恩格斯评赞的那样：“变量数学，不仅可以描述状 态，而且可以描述过程”了。数学作为一个极为有用的工具， 对于客观事物运动的量变规律，.不再只是限止在静态的描述 上，而可进展到予以动态的描述了。但是微积分产生以后长 达一百几十年的岁月，其发展缓慢、应用局限，几乎到了停 滞难进的局面，原因就是微积分的理论基础缺乏牢固的严密 性。直到十九世纪-三十年代，柯西(A.一L.Cauchy)执 教于巴黎科技大学（巴黎综合工科学校），率先新编了具严格 逻辑推理的微积分讲义。并且柯西对于微积分中历来保持的 当时所谓“代数化”的传统假说持不同意见。这些传统的假 说是：命题若对实数情形正确则…定可以对复数也对；命题 若对有限情形时成立则必可引伸到无限时也对；命题若对级 数收敛时有结论则定可同样移到不收敛状态也成立等等，柯 西举出了一系列的反例，并针对作为微积分理论基础的极限 理论，引进了无穷小量的概念，同时提出了数列（有序变 量)的极限用e-N语言的描述方式，还给出了一个极限存在 的判别准则。从而开始了莫定微积分严格理论基础的研究。接 着魏尔斯特拉斯(K.Weierstrass)对于一般变量（有序的与
无序的变量)进一步引进了ε一6的说法，提出了微积分赖以 生存的实数系统需建立一个严格的实数理论作为其基础，并 且对于柯西以来微积分中的许多重要的概念与关系作了全面 严格而深入的研究论证。例如，对于一个区间上的任意连续 函数，总认为存在可微点的直觉想像，他举出了反例。魏尔 斯特拉斯构造的著名反例是： f(x)= ac0s(6x),0<a<1,ab>1+号x,b为奇数) n=0 这是一个在区间上点点连续且点点不可徽的函数，从而严格 弄清楚了函数的连续性与可微性之间的关系；魏尔斯特拉斯 还对椭圆函数正反两方面进行追究，引出椭圆函数的逆转理 论的建立，这也是数学史上的著名成果。微积分的发展，由 牛顿、莱布尼兹到柯西、魏尔斯特拉斯，便进入到了严密理 论基础的新阶段。由此可见，微积分中反例的列举，对于确 切理解概念以致整个理论基础的建立都具有极其重要的镜鉴 作用。 历史上，十九世纪的欧洲，对于微积分、代数几何的研 究，均完成了严密抽象的理论改造过程，使得整个变量数学 时期的各个数学分支均进展到了具有严格的逻辑、高度的抽 象和广泛的应用三大特征的新阶段。在数学史上为区别以往 由初等数学时期到变量数学时期的重大差异，特将十九世纪 以后的数学阶段称为近代数学时期。相应地，把经过严格理 论改造了的微积分称为数学分析。 因此，为了学好数学分析这一门课程，就应需求学生按 照委量数学处处充满辩证逻辑的特征，与形而上学方法有所
不同，就必需正反两方面予以考虑命题的真伪，就必需前后两 阶段予以研压明确其相关概念是储存不是独立的结论。这其 中列举恰当的反例就是一个极为关键的技巧，已成为当代数 学教学的重要环节。所以，在进一步深入学习数学分析时，就 要培养学生有举反例的习惯，有独立思考的能力。德州教育学 院王俊青同志积多年来的教学经验，江集编纂了数学分析近 四百反例，辑成了《数学分析中的反例》-一书，共分八章，概涉 了一元与多元函数微积分及级数等的基本概念与基础理论的 各个环节。资料详尽，内容丰富。对于配合数学与分析谭程的 教学来说，无疑是一本很有益处的陪训教材。 我相信，这本书的出版，供广大师生作为补充参考，必将 有助于教学质量的提高。不仅如此，分析反例的江总，还可促 进这一方面科研工作的展开。例如对于某些重要的和著名的 反例能否引出创建更精短、更简明的反例来，当然，对于上述 教学与科研的进一步作用，都将有待于今后的实践来予以验 证。 邵品琮 1996.6.21于青岛
前 言 在数学中，我们提出问题的主要类型是：“苦A则B”,即 “A→B”:要谁这一蕴涵关系是正在铁，我们就要给出蕴涵关 系“A→B”的一个证明，而要说明这一蕴涵关系不成立，则只 需举一个反例。反例对巩固和加深概念、定理的理解有着正面 例子反无法取代的作用，在教学中试举“反例”已成为提高教 学质量的重要一环。本书针对学生容易忽略的地方举出反例， 来帮助学生深刻理解数学分析中的某些概念、概念与概念之 间的联系以及某此壹理的实质内容。本书就下列几个方面举 出反例： 1.概念方面 2.概念与概念之间的联系 3.某引起定理的必要性或充分性 4.某些问题的特殊性 本书可作为数学分析或高等数学的辅导材料，也可作为 教师的教学参考书，还可供广大数学爱好者阅读。 本书是多年教学资料的积累，经验的结晶。并在著名数学
家北京师范大学教授王梓坤先生的大力支持和鼓励下出版成 册。·本书稿由著名数学家青岛大学数学系教授邵品琮先生审 校，并提出了许多宝贵意见，德州教育学院数学系刘书清主任 为本书的出版给予了大力支持和帮助，在此一并表示衷心的 忠谢！ 由于作者水平所限，书中的缺点和销误在所难免，悬请读 者批评指正。 编者 1996年6月 ●