2.定义.设Σ为光滑的有向曲面，在Σ上定义了一个 向量场A=(P(x,y,z),Q(x,y,),R(x,y,)若对Σ的任 意分割和在局部面元上任意取点，下列极限都存在 Iim∑P(5,7,51AS)z 2→0 i=l +Q(5,7,5i(AS;)zx+R(5,7i,5i)△S)xy] 则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积 分，或第二类曲面积分.记作 [Pdyd=+Qd=dx+Rdxdy PQ,R叫做被积函数，Σ叫做积分曲面
设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个 意分割和在局部面元上任意取点, = n i 1 i i i i zx + Q( , , )(S ) 分, Pdy d z + Qd z d x + Rdx dy 记作 P, Q, R 叫做被积函数; 叫做积分曲面. 或第二类曲面积分. 下列极限都存在 向量场 A = (P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)), 若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 2. 定义. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
厂Pdydz称为P在有向曲面Σ上对y:的曲面积分 八Odzdx称为Q在有向曲面2上对：，x的曲面积分： 儿Rdxdy称为R在有向曲面Σ上对xy的曲面积分. 引例中，流过有向曲面Σ的流体的流量为 Φ=j八Pdyd:+Qd:dx+Rdx dy 若记正侧的单位法向量为n=(cosa,cos阝，cosy) ds=nds=(dydz,dzdx,dxdy) (称做有向曲面元) 五=(P(x,y,),Q(x,y,),R(x,y,2) 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为 Pd y d z 称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分; Rd x d y 称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分. 称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分; = Pdy d z + Qd z d x + Rdx dy 若记 正侧的单位法向量为 令 n = ( cos , cos , cos ) A = (P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z)) 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 d S = n d S = (d yd z, d zd x, d x d y) (称做有向曲面元)
[Pdyd=+edzdx+Rdxdy =八奶不ds=小奶不.ds 3.性质 (1)若Σ=UΣ，且∑，之间无公共内点，则 i= 儿s-主，4as (2)用Σ表示Σ的反向曲面，则 儿fds-k不as 下页返回结束
3. 性质 (1) 若 之间无公共内点, 则 (2) 用 ˉ 表示 的反向曲面, 则 A d S i A d S Pd y d z + Q d z d x + Rd x d y = A nd S = A d S 机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、对坐标的曲面积分的计算法 定理：设光滑曲面∑：z=z(x,y),(x,y)∈Dxy取上侧， R(x,y,z)是∑上的连续函数，则 J八Rx,y)dxdy=j∬R,)dxdy 证：2R(x,)dxdy=im∑R(5h,5△S,)xy 2→0 Σ取上侧，(AS)xy=(△o)xy 5:=z(5,7) =lim∑R(5,n,z(5,n》(△o,)y λ>0i=1 Rdxdy
三、对坐标的曲面积分的计算法 定理: 设光滑曲面 是 上的连续函数, 则 R(x, y,z)d x d y ( , , ) = D x y R x y z(x, y) d x d y 证: 0 lim → = = n i 1 i x y (S ) i x y ∵ 取上侧 = ( ) , ( , ) i i i = z 0 lim → = = n i 1 ( , , ) R i i i x y ( ) R x y z x,y x y Dx y ( , , ( ))d d = R(x, y,z)d x d y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,取上侧
说明：如果积分曲面Σ取下侧，则 )dxdy=)dxdy ·若∑：x=x(y,2),(y,2)∈Dz,则有 d)dyd= (前正后负) ·若∑：y=y(z,x),(z,x)∈Dx,则有 八(x,y,2)dzdx=∬DQx,(2,x),z)dzdx (右正左负)
• 若 则有 P(x, y,z)d ydz P( , y,z) Dyz = x( y,z) d y d z • 若 则有 Q(x, y,z)d z d x ( , , z ) = Dzx Q x y(z, x) d z d x (前正后负) (右正左负) 说明: 如果积分曲面 取下侧, 则 R(x, y,z)d x d y ( , , ) = − Dx y R x y z(x, y) d x d y 机动 目录 上页 下页 返回 结束