题：若向量组I：α,α2,",α,可由向量组Il：β,β2,β,线性表示，且向量组1线性无关，则必有r≤S，可见正确选项为(D).本题也可通过举反例用排除法找到答案0)(0)(1).β, :β,【详解】用排除法：如α,，则α,=0β,+0β,但β,β0010线性无关，排除(A)：α则αi,α,可由β,线性表示，但β,线性0无关，排除(B)：，可由βi,β,线性表示，但α,线性无关，排除(C).故正确选项为(D)（评注】本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m×n矩阵，现有4个命题：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B);②若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解：③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)：若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解以上命题中正确的是(B) ① ③.(A) ① ②.(C) ② @.(D) ④.［B]【分析】本题也可找反例用排除法进行分析，但①②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③与④，迅速排除不正确的选项【详解】若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n-秩(B)，即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可[1 0]则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如A=排除(A)(C)：但反过来，若秩(A)=秩(B)，Lo 0[0 0]B=则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正[0 1]确选项为(B)【例】齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件(A)r(A)=r(B).(B）A,B为相似矩阵(C)A,B的行向量组等价(D）A,B的列向量组等价[c]有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案。(6) 设随机变量X~ (n)n>1),Y=，则(A) Y~×(n)(B) Y~x(n-l).(C) Y~ F(n,1).(D) Y ~ F(1,n).[c]
题：若向量组 I： r , , , 1 2 可由向量组 II： s , , , 1 2 线性表示，且向量组 I 线性无 关，则必有 r s. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案. 【详解】用排除法：如 = = = 1 0 , 0 1 , 0 0 1 1 2 ，则 1 0 1 0 2 = + ，但 1 2 , 线性无关，排除(A)； = = = 0 1 , 0 1 , 0 0 1 2 1 ，则 1 2 , 可由 1 线性表示，但 1 线性 无关，排除(B)； = = = 1 0 , 0 1 , 0 1 1 1 2 ，1 可由 1 2 , 线性表示，但 1 线性无关， 排除(C). 故正确选项为(D). 【评注】本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案， 若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。 （5）设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0, 其中 A,B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题： ① 若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A) 秩(B)； ② 若秩(A) 秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解； ③ 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则 Ax=0 与 Bx=0 同解. 以上命题中正确的是 (A) ① ②. (B) ① ③. (C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ] 【分析】本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些， 关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项. 【详解】 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可 排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出 Ax=0 与 Bx=0 同解，如 = 0 0 1 0 A ， = 0 1 0 0 B ，则秩(A)=秩(B)=1，但 Ax=0 与 Bx=0 不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正 确选项为(B). 【例】 齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 同解的充要条件 (A) r(A)=r(B). (B) A,B 为相似矩阵. (C) A, B 的行向量组等价. (D) A,B 的列向量组等价. [ C ] 有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案. （6）设随机变量 2 1 ~ ( )( 1), X X t n n Y = ，则 (A) ~ ( ) 2 Y n . (B) ~ ( 1) 2 Y n − . (C) Y ~ F(n,1) . (D) Y ~ F(1, n) . [ C ]
U其中U~N(O,I)V~(n)，再将其代入【分析】先由1分布的定义知X1Y=然后利用F分布的定义即可2U【详解】由题设知，X其中U~N(O,1),V~x(n)，于是VV/nV/V/11/n/n4这里U2~(U)，根据F分布的定义知Y~F(n,l)X2U2U2+2故应选(C).【评注】本题综合考查了t分布、>?分布和F分布的概念，要求熟练掌握此三类常用统计量分布的定义三、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A;(2）求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积v.【分析】先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A；旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图【详解】（1）设切点的横坐标为x，则曲线y=lnx在点（xo,lnx）处的切线方程是1-(x-xo)y=lnxo+xo由该切线过原点知lnx。-1=0，从而x。=e.所以该切线的方程为J=-Xe平面图形D的面积ey)dy=je-l（2）切线V=一x与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体积ea为曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为L-e')"dy,因此所求旋转体的体积为
【分析】 先由 t 分布的定义知 n V U X = ，其中 ~ (0,1), ~ ( ) 2 U N V n ，再将其代入 2 1 X Y = ，然后利用 F 分布的定义即可. 【详解】 由题设知， n V U X = ，其中 ~ (0,1), ~ ( ) 2 U N V n ，于是 2 1 X Y = = 1 2 2 U n V U n V = ，这里 ~ (1) 2 2 U ，根据 F 分布的定义知 ~ ( ,1). 1 2 F n X Y = 故应选(C). 【评注】 本题综合考查了 t 分布、 2 分布和 F 分布的概念，要求熟练掌握此三类常用 统计量分布的定义. 三 、（本题满分 10 分） 过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D. (1) 求 D 的面积 A; (2) 求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 【分析】先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积 A; 旋转体体积可用一大立体 （圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图. 【详解】 (1) 设切点的横坐标为 0 x ，则曲线 y=lnx 在点 ( ,ln ) 0 0 x x 处的切线方程是 ( ). 1 ln 0 0 0 x x x y = x + − 由该切线过原点知 ln x0 −1 = 0 ，从而 . 0 x = e 所以该切线的方程为 . 1 x e y = 平面图形 D 的面积 = − = − 1 0 1. 2 1 A (e ey)dy e y （2） 切线 x e y 1 = 与 x 轴及直线 x=e 所围成的三角形绕直线 x=e 旋转所得的圆锥体积 为 . 3 1 2 1 V = e 曲线 y=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线 x=e 旋转所得的旋转体体积为 V e e dy y 2 1 0 2 ( ) = − ， 因此所求旋转体的体积为