K金程考研要考研，找金程WWW.51DX.ORG2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析、选择题：18小题每小题4分共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上(1)设函数f(x)在(-0,+oo)内连续，其中二阶导数f"(x)的图形如图所示，则曲线y=f(x)的拐点的个数为（）(D) 3(A)0(B)1(C) 2【答案】（C）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由f"（x)的图形可得，曲线y=f(x)存在两个拐点.故选（C）1. 2 +(x1)e是二阶常系数非齐次线性微分方程y"+ay'+by=ce的(2)设y=一24个特解，则（)(A) a=-3,b=2,c=-(B) a=3,b=2,c=(C) a=-3,b=2,c(D) a=3,b=2,c=1【答案】（A）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题—一已知解来确定微分方程此类题有两种解法，的系数，1种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法2xer为二阶常系数齐次微分方程y"+ay+by=0的解，【解析】由题意可知，23所以2.1为特征方程r2+ar+b=0的根，从而a=-(1+2）=-3，b=1×2=2，从而原方程变为y"-3y+2y=ce，再将特解y=xe代入得c=-1.故选（A）(3）若级数a,条件收敛，则x=/与x=3依次为幂级数na,(x-1)"的（）n=ln=l(A）收敛点，收敛点经济学金融考研论坛http://www.51irlk.com/
要考研，找金程 WWW.51DX.ORG 经济学金融考研论坛 http://www.51jrlk.com/ 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析 一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项 符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. (1)设函数 f x( ) 在 (− + , ) 内连续，其中二阶导数 f x ( ) 的图形如图所示，则曲线 y f x = ( ) 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C） 【解析】拐点出现在二阶导数等于 0，或二阶导数不存在的点， 并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由 f x ( ) 的图形可得， 曲线 y f x = ( ) 存在两个拐点.故选（C）. (2)设 1 1 2 ( ) 2 3 = + − x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程 + + = x y ay by ce 的一 个特解，则( ) (A) a b c = − = = − 3, 2, 1 (B) a b c = = = − 3, 2, 1 (C) a b c = − = = 3, 2, 1 (D) a b c = = = 3, 2, 1 【答案】（A） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程 的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估 系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知， 1 2 2 x e 、 1 3 x − e 为二阶常系数齐次微分方程 y ay by + + = 0 的解， 所以 2,1 为特征方程 2 r ar b + + = 0 的根，从而 a = − + = − (1 2) 3 ，b = = 1 2 2 ，从而原方 程变为 3 2 x y y y ce − + = ，再将特解 x y xe = 代入得 c =−1.故选（A） (3) 若级数 1 = n n a 条件收敛，则 x = 3 与 x = 3 依次为幂级数 1 ( 1) = − n n n na x 的 ( ) (A) 收敛点，收敛点
K金程考研要考研，找金程WWW.51DX.ORG(B）收敛点，发散点(C）发散点，收敛点(D）发散点，发散点【答案】（B）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质【解析】因为a,条件收敛，即x=2为幂级数a,(x-1)"的条件收敛点，所以--Zα,(x-1)"的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故nsl≥na,(x-1)"的收敛区间还是(0,2),因而x=V3与x=3依次为幂级数二na,(x-1)"的n=l-收敛点，发散点.故选（B）3围成的平面(4）设D是第一象限由曲线2xy=1，与直线y=x，区域，函数f(x,y）在D上连续，则（f（xy)dxdy0edeme(A)f (rcos,rsine)rdr42sin20deVsin20(B)f(rcose,rsin)rd2sin20idefsin20(C)(rcose.rsine)dr2sin20(D) [de[Vm20 f (rcose,rsin0)dr2sin20【答案】（B）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D的图形，edefin20所以 [[ f(x,J)dxdy= [f(rcos,rsin)rdrD4J2sin20故选（B)112若集合Q=(1,2)，则线性方程组Ax=b有(5）设矩阵Ahd-4a?d?经济学金融考研论坛http://www.51irlk.com/
要考研，找金程 WWW.51DX.ORG 经济学金融考研论坛 http://www.51jrlk.com/ (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B） 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为 1 n n a = 条件收敛，即 x = 2 为幂级数 1 ( 1)n n n a x = − 的条件收敛点，所以 1 ( 1)n n n a x = − 的收敛半径为 1，收敛区间为 (0,2) .而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 1 ( 1)n n n na x = − 的收敛区间还是 (0,2) .因而 x = 3 与 x = 3 依次为幂级数 1 ( 1)n n n na x = − 的 收敛点，发散点.故选（B）. (4) 设 D 是第一象限由曲线 2 1 xy = ，4 1 xy = 与直线 y x = ， y x = 3 围成的平面 区域，函数 f x y ( , ) 在 D 上连续，则 ( , ) D f x y dxdy = ( ) (A) ( ) 1 3 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r rdr cos , sin (B) ( ) 1 3 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r rdr cos , sin (C) ( ) 1 3 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r dr cos , sin (D) ( ) 1 3 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r dr cos , sin 【答案】（B） 【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出 D 的图形， 所以 ( , ) D f x y dxdy = 1 3 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r rdr ( cos , sin ) ， 故选（B） (5) 设矩阵 2 1 1 1 1 2 1 4 A a a = ， 2 1 b d d = ，若集合 =1,2 ，则线性方程组 Ax b = 有 x y o
K金程考研要考研，找金程WWW.51DX.ORG无穷多解的充分必要条件为()(A) a,d(B) a@,de(C)aeQ,d(D) a,de【答案】(D)1(1 1(111201a-1d-1【解析】(A,b)=9d1(14α2d?00 (a-1)(a-2))(d-1(d-2))由r(A)=r(A,b)<3，故a=l或a=2，同时d=1或d=2.故选(D)(6)设二次型f(,2,）在正交变换为x=Py下的标准形为2+-，其中P=(e,e,e），若Q=(e,-ée），则f(x,)在正交变换x=y下的标准形为(A) 2y2 -y+y?(B) 2+-T(C) 2-2-(D) 2y++【答案】(A)【解析I由x=Py，故f=xAx=y(PTAP)y=2+y-且PTAP00100= PC01由己知可得：Q=Po-10)(2 0 0)故有O"AQ=CT(PTAP)C=0-1(0 01所以f=xAx=y(QTAO)y=2-+选（A)经济学金融考研论坛http://www.51irlk.com/
要考研，找金程 WWW.51DX.ORG 经济学金融考研论坛 http://www.51jrlk.com/ 无穷多解的充分必要条件为 ( ) (A) a d , (B) a d , (C) a d , (D) a d , 【答案】(D) 【解析】 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , ) 1 2 0 1 1 1 1 4 0 0 ( 1)( 2) ( 1)( 2) A b a d a d a d a a d d = → − − − − − − ， 由 r A r A b ( ) ( , ) 3 = ，故 a =1 或 a = 2 ，同时 d =1 或 d = 2.故选（D） (6)设二次型 f x x x ( 1 2 3 , , ) 在正交变换为 x Py = 下的标准形为 2 2 2 1 2 3 2y y y + − ，其中 P e e e = ( 1 2 3 , , ) ，若 Q e e e = − ( 1 3 2 , , ) ，则 f x x x ( 1 2 3 , , ) 在正交变换 x Qy = 下的标准形为 ( ) (A) 2 2 2 1 2 3 2y y y − + (B) 2 2 2 1 2 3 2y y y + − (C) 222 1 2 3 2yyy − − (D) 222 1 2 3 2yyy + + 【答案】(A) 【解析】由 x Py = ，故 2 2 2 1 2 3 ( ) 2 T T T f x Ax y P AP y y y y = = = + − . 且 2 0 0 0 1 0 0 0 1 T P AP = − . 由已知可得: 1 0 0 0 0 1 0 1 0 Q P PC = = − 故有 200 ( ) 0 1 0 0 0 1 T T T Q AQ C P AP C = = − 所以 2 2 2 1 2 3 ( ) 2 T T T f x Ax y Q AQ y y y y = = = − + .选（A）
K金程考研要考研，找金程WWW.51DX.ORG(7)若A,B为任意两个随机事件，则(1(A) P(AB)≤P(A)P(B)(B) P(AB)≥P(A)P(B)(D) P(AB)≥ P(4)P(B)(C) P(AB)≤P(4)P(B)22【答案】(C)【解析】由于ABA,ABB，按概率的基本性质，我们有P(AB)≤P(A)且P(AB)≤P(B),从而 P(AB)≤ JP(A)·P(B)≤P(A)+ P(B),，选(C)2(8)设随机变量X,Y不相关，且EX=2,EY=1,DX=3，则EY(Y+Y-2))=1((A) -3(B) 3(C) -5(D) 5【答案】(D)【解析】 E[X(X +Y -2)]= E(X?+XY-2X)-E(X)+E(XY)-2E(X)= D(X)+E(X)+E(X)·E(Y)-2E(X)=3+22+2×1-2×2选（D)二、填空题：9~14小题，每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上Incosx(9) limX21【答案】0【分析】此题考查”型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换-sinx1In(cosx)-tanxcos.x【解析】方法一-lim-= limlim2x2xX-0x-→>02xx-→0In(cos x)In(1+cosx-1)cOsx-2.方法二：lim-limlimlimx2x2x2x-→0x-→0x-→01-sinxxDdx（10）COS元【答案】4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简经济学金融考研论坛http://www.51irlk.com/
要考研，找金程 WWW.51DX.ORG 经济学金融考研论坛 http://www.51jrlk.com/ (7) 若 A,B 为任意两个随机事件，则 ( ) (A) P AB P A P B ( ) ( ) ( ) (B) P AB P A P B ( ) ( ) ( ) (C) ( ) ( ) ( ) 2 P A P B P AB (D) ( ) ( ) ( ) 2 P A P B P AB 【答案】(C) 【解析】由于 AB A AB B , ，按概率的基本性质，我们有 P AB P A ( ) ( ) 且 P AB P B ( ) ( ) ，从而 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 P A P B P AB P A P B + ，选(C) . (8)设随机变量 X Y, 不相关，且 EX EY DX = = = 2, 1, 3 ，则 ( + − = 2) E X X Y ( ) (A) −3 (B) 3 (C) −5 (D) 5 【答案】(D) 【解析】 2 2 E X X Y E X XY X E X E XY E X [ ( 2)] ( 2 ) ( ) ( ) 2 ( ) + − = + − = + − 2 = + + − D X E X E X E Y E X ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 = + + − = 3 2 2 1 2 2 5，选(D) . 二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上. (9) 2 0 ln cos lim _ . x x → x = 【答案】 1 2 − 【分析】此题考查 0 0 型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换. 【解析】方法一： 2 0 0 0 sin ln(cos ) tan 1 cos lim lim lim . x x x 2 2 2 x x x x → → → x x x − − = = = − 方法二： 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 ln(cos ) ln(1 cos 1) cos 1 1 2 lim lim lim lim . x x x x 2 x x x x → → → → x x x x − + − − = = = = − (10) 2 2 sin ( )d _. 1 cos x x x x − + = + 【答案】 2 π 4 【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简
K金程考研要考研，找金程WWW.51DX.ORGsinx【解析】1+cos(1)若函数≥=≥(x,)由方程e°+xyz+x+cosx=2确定，则d=(o.1)=【答案】-dx【分析】此题考查隐函数求导【解析】令F(x,y,z)=ei+xyz+x+cosx-2，则F(x,y,z)= yz +1-sin x, F'= xz, F(x, y,2)=e +xy又当x=0,y=1时e=1，即z=0F'(0,1,0)_ F(0,1,0) - -1 =所以=0, 因而 dl(o.1--dx.ax/(o,1)ylonF'(0,1,0)F'(0,1,0)(12)设Q是由平面x+y+z=1与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则([(x+2y+ 3z)dxdydz =C【答案】！4【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算【解析】由轮换对称性，[[(x + 2y+ 32)dxdydz - 6] zdxdydz- 6], zd-[[ dxdy,p其中D为平面二==截空间区域Q所得的截面，其面积为二(1-2)所以(1-2)dz=3["(3 -22 +2)dz = [[(x+ 2y+32]dxdyd -6[[ zdxdydz = 6].4200202(13）n阶行列式?020...0201【答案】2"+1-2【解析】按第一行展开得经济学金融考研论坛http://www.51irlk.com/
要考研，找金程 WWW.51DX.ORG 经济学金融考研论坛 http://www.51jrlk.com/ 【解析】 2 2 2 0 2 sin 2 . 1 cos 4 x x dx xdx x − + = = + (11)若函数 z z x y = ( , ) 由方程 + + + = cos 2 x e xyz x x 确定，则 (0,1) d _ . z = 【答案】 −dx 【分析】此题考查隐函数求导. 【解析】令 ( , , ) cos 2 z F x y z e xyz x x = + + + − ，则 ( , , ) 1 sin , , ( , , ) z F x y z yz x F xz F x y z e xy x y z = + − = = + 又当 x y = = 0, 1 时 1 z e = ，即 z = 0. 所以 (0,1) (0,1) (0,1,0) (0,1,0) 1, 0 (0,1,0) (0,1,0) x y z z z z F F x F y F = − = − = − = ，因而 (0,1) dz dx = − . (12)设 是由平面 x y z + + =1 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则 ( 2 3 ) _. x y z dxdydz + + = 【答案】 1 4 【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得 1 0 ( 2 3 ) 6 6 Dz x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy + + = = ， 其中 D z 为平面 z z = 截空间区域 所得的截面，其面积为 1 2 (1 ) 2 − z .所以 1 1 2 3 2 0 0 1 1 ( 2 3 ) 6 6 (1 ) 3 ( 2 ) . 2 4 x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz + + = = − = − + = (13) n 阶行列式 2 0 0 2 1 2 0 2 _. 0 0 2 2 0 0 1 2 − = − 【答案】 1 2 2 n+ − 【解析】按第一行展开得