注函数f(x)=xD(x)在区间[-1,2]上三个3条件都不满足，却仍有2f□(0)-0.这说明罗尔定理的三个条件是充分条件，而不是必要条件01-12x巡回后页前页
前页 后页 返回 -1 O 1 2 1 2 3 4 条件都不满足, 却仍有 f (0)=0. 这说明罗尔定 理的三个条件是充分 条件, 而不是必要条件
定理的证明因为f(x)在[a,bl 上连续,所以由连续函数的最大、最小值定理,f(x)在[a,bl 上能取得最大值 M 和最小值m.下面分两种情形加以讨论情形1 M=m. 此时 f(x) 恒为常数,它的导函数于零,此时可在(a,b)内随意取一点口,就有f(0)=0.巡回后页前页
前页 后页 返回 定理的证明 因为 f (x) 在 [a, b] 上连续,所以由连续函数的最大、 情形1 M = m.此时 f (x) 恒为常数,它的导函数 恒 f ( ) = 0 . 小值 m .下面分两种情形加以讨论. 最小值定理,f (x) 在 [a, b] 上能取得最大值 M 和 最 等于零,此时可在 (a, b) 内随意取一点 , 就有
情形2m<M.既然最大、最小值不等，从而最大值与最小值至少有一个不在端点取到.不妨设最大值不在端点取到，故存在xI（a,b),使得f (x) = M.因为在区间内部取到的最大值一定是极大值，所以由费马定理，得fdx)= 0.巡回后页前页
前页 后页 返回 情形2 m < M. 既然最大、最小值不等,从而最大 因为在区间内部取到的最大值一定是极大值,所以 大值不在端点取到,故存在 使得 值与最小值至少有一个不在端点取到.不妨设最 由费马定理,得
例1设p(x)是一个多项式,且方程p(x)=0 没有,则方程p(x)=0 至多有一个实根，且这个根的重数为 1.证 设 p(x)有两个实根xj,x2,x<x2,由于 p(x)是多项式，所以p(x)在[x，x,]上满足罗尔定理的条件，从而存在xI（a,b），使得pdx)= 0,这与条件矛盾巡回前页后页
前页 后页 返回 这与条件矛盾. 例1 设 p(x) 是一个多项式, 且方程 p'(x) = 0 没有 实 证 重数为 1 . 根, 则方程 p(x) = 0 至多有一个实根，且这个根的
又若p(x)有一个k次重根xo，则p(x) =(x - xo)h pi(x), k 3 2.因为 pdx)= k(x - x,)k-p(x)+(x- x,)" p(x)所以 pdxo)=0,矛盾邀回后页前页
前页 后页 返回 矛盾