S3欧拉积分在本节中我们将讨论由含参量反常积分定义的两个很重要的非初等函数一G函数和B函数一、G函数二、B函数三、G函数与B函数之问的关系邀回后页前页
前页 后页 返回 §3 欧 拉 积 分 在本节中我们将讨论由含参量反常积分 定义的两个很重要的非初等函数 —— 一、 函数 二、 函数 返回 函数和 函数. 三、 函数与 函数之间的关系
一、G函数含参量积分：(1)G(s)= Q x"'e*dx,s >0,称为格马函数G 函数可以写成如下 两个积分之和 :十￥G(s)=Qx*le*dx+ Q x*'e *dx = I(s)+ J(s),其中 I(s)当s 3 1 时是正常积分, 当 0 < s<1 时是收的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得);后贡巡回前页
前页 后页 返回 一． 函 数 含参量积分： 称为格马函数. 函数可以写成如下两个积分之和： 其中 时是正常积分,当 时是收敛 的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得);
J(s)当s 3 0 时是收敛的无穷限反常积 分(也可用柯西判别法推得). 所以含参量积分(1)在 s >0时收敛,即 G函数的定义,域为 S> 0.1. G(s)在定义域 S>0 内连续且有任意阶导数在任何闭区向[a,b](a >0)上,对于函数I(s),当0<xt1时有x*le* x"le*,由于@x"le*dx 收敛,从而I(s)在[a,b] 上也一致收敛,对于J(s),当后贡返回前页
前页 后页 返回 时是收敛的无穷限反常积分(也可用柯西 判别法推得). 所以含参量积分(1)在 时收敛, 即 函数的定义域为. 1. 在定义域 内连续且有任意阶导数 在任何闭区间 上, 对于函数 当 时有 由于 收 敛, 从而 在 上也一致收敛, 对于 当
1 x<+ 时,有x"le** xb-le*, 由于Q xble**dx收敛,从而J(s)在[a,bl 上也一致收效,于是G(s) 在S>0上连续。用上述相固的方法考察积分0 l(re*ax-0e"nxdr.它在任何区向[a,b](a>0)上一致收效. 于是由定理19.10得到 G(s)在[a,b] 上 可 导,由a,b的任意性,G(s)巡回前页后贡
前页 后页 返回 上连续. 用上述相同的方法考察积分 它在任何区间 上一致收敛. 于是由定理 19.10得到 在 上可导, 由a, b的任意性, 时, 有 由于 收敛,从而 在 上也一致收敛, 于是 在
在s>0上可导,且Gds)= Q x"'e'*In xdx,s >0.固理可证G"(s) = Q x"e *(lnx)"dx, s>0, n =2,3,L .2. 递推么式 G(s +1) = sG(s)对下述积分应用分部积分法，有 xe*dx=-x'e* +so x"l0ddxso xs-1Ae巡回后页前页
前页 后页 返回 同理可证 2. 递推公式 对下述积分应用分部积分法, 有 在 上可导, 且