例1 设函数 f 在区间[a, bl(a>0)上连续,在(a,b上可导,则存在 ε(a,b),使得bf(b)-f(a) =≤f'()lna证 设g(x)= ln x,显然f(x), g(x) 在 [a, b] 上满足柯西中值定理的条件,于是存在E（a,b),使得f(b)-f(a) _f'()1In b- In a5变形后即得所需的等式后页返回前页
前页 后页 返回 例1 设函数 f 在区间 [a, b](a > 0) 上连续, 在(a, b) ( ) ( ) ( )ln . a b f b − f a = f 证 设 g(x) = ln x , 显然 f (x), g(x) 在 [a, b] 上满足 柯西中值定理的条件,于是存在 (a , b) , 使得 , 1 ( ) ln ln ( ) ( ) f b a f b f a = − − 变形后即得所需的等式. 上可导 (a , b) , 则存在 , 使得
二、不定式极限在极限的四则运算中，往往遇到分子，分母均为无穷小量（无穷大量）的表达式.这种表达式的极限比较复杂，各种结果均会发生.我们将这类极限统称为不定式极限.现在我们将用柯西中值定理来研究这类极限，这种方法统称为洛必达法则型不定式极限前页后页返回
前页 后页 返回 在极限的四则运算中, 往往遇到分子, 分母均为无 0 1. 0 型不定式极限 二、不定式极限 究这类极限, 这种方法统称为洛必达法则. 称为不定式极限. 现在我们将用柯西中值定理来研 比较复杂，各种结果均会发生. 我们将这类极限统 穷小量 (无穷大量) 的表达式. 这种表达式的极限
定理6.6若函数f和g满足：(i) lim f(x)= lim g(x) = 0 ;x-xox-xo(i)在点x.的某空心邻域U(x.)内两者均可导，且 g(x)±0 ;(x)=A (A 可以为实数， ±0, ) ,(ii) limg(x)x-→Xo天则f(x) = lim '()= A.limg(x)t+xo g'(x)X→X0证 我们补充定义 f(x)=g(xo)=0, 所以 f,g前页后页返回
前页 后页 返回 定理6.6 若函数 f 和g满足： 0 0 (i) lim ( ) lim ( ) ; 0 x x x x f x g x → → = = 0 0 (ii) ( ) 在点 x U x 的某空心邻域 内两者均可导， 且 g x ( ) ; 0 ( ) 0 ( ) (iii) lim , . ( ) x x f x A A → g x = 可以为实数， 则 0 0 ( ) ( ) lim lim . ( ) ( ) x x x x f x f x A → → g x g x = = 证 0 0 我们补充定义 所以 f x g x f g ( ) ( ) , , = = 0
在点x连续.任取xEUxo),则在区间[xo,x([x,xol)上应用柯西中值定理，有f(x) f(x)-f(x) f'()（介于x与x之间）g(x)g(x)-g(x)g'()令x→x，故→x，根据归结原理f()f'(x)f(x) = limlimAlimg(x) ~ t-o g(5)x-xo g'(x)x-→xo注将定理1中的x→x改为x→x，x→xo前页后页返回
前页 后页 返回 . ( ), [ , ] 在点 x0 连续 任取 x U x0 则在区间 x0 x ([x, x0 ])上应用柯西中值定理，有 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( . ( ) ( ) ( ) ( ) f x f f x f x x x g x g x g x g − = = − 介于 与 之间) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim lim . ( ) ( ) ( ) x x x x x x f x f f x A g x g g x → → → = = = 注 将定理1中的 x → x0 改为 x → x0 + ，x → x0 −， 0 0 令 x x x → → , , 故 根据归结原理
x→+o0，x→-8 的情形,只要修正相应的邻域结论同样成立1- tanx例 1 求limsin4x0解容易验证：这是型不定式。一个一0-secx-2 1tanxlimlim4cos4x-42sin4x元一4元一4x→x-→0-f'(x)仍是如果lim型不定式极限，只要满足洛Og'(x)x-xo后页返回前页
前页 后页 返回 x → +, x → − 的情形,只要修正相应的邻域， 结论同样成立. 例１ π 4 1 tan lim . sin4 求 x x → x − 解 0 0 容易验证：这是一个 型不定式 . 2 π π 4 4 1 tan sec 2 1 lim lim . x x sin4 4cos4 4 2 x x → → x x − − − = = = − 0 0 0 ( ) lim , ( ) x x f x g x 如果 仍是 型不定式极限 只要满足洛 →