[T,T],…,[T,T],[T,Tn] 小区间长度△t,=t,-41i=1,2,…,n,得n个小段路程， 记为 △S,i=1,2,…,n (2)近似替代 Vt,∈[t-1,t,] AS,≈v(t)△ti=1,2,…,n (3)求和 S=AS,=Ev(r.)AL i-1 i-1 (4)求和的极限 S=lim∑(z,)At 2-→0 i=l 其中=max{At} l≤i≤n 8
8 0 1 1 1 [ , ], ,[ , ], [ , ] T T T T T T i i n n − − 小区间长度 1 1,2, , i i i t t t i n = − = − ，得 n 个小段路程， 记为 Si，i n =1,2, , （2）近似替代 1 [ , ] i i i t t − ( ) 1,2, , i i i = S v t i n （3）求和 1 1 ( ) n n i i i i i S S v t = = = （4）求和的极限 0 1 lim ( ) n i i i S v t → = = 其中 1 max i i n t =
(二)概念 定义3-3设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，任取分点 a=Xo<x1<X2<…<Xn=b 将[a,b]分成n个小区间，在每个小区间[x1,x]上任取 一点(x1≤，≤x),作和式∑f(5)△x,(其中 i=l △x,=x,-x,1),如果不论对[a,b]如何分法，以及5如何取 法，只要当元=max{}→0时，和式∑f(怎Ax的极 限存在，则称此极限为f(x)在[a,b]上的定积分，记为 fx)d。 9
9 (二)概念 定义 3-3 设函数 f x( )在区间[a,b]上有定义，任取分点 a x x x x b = = 0 1 2 n 将[a,b]分成 n 个小区间，在每个小区间 1 [ , ] i i x x − 上任取 一 点 1 ( ) i i i i x x − ，作和式 1 ( ) n i i i f x = （其中 i i i 1 x x x = − − ）,如果不论对[a,b]如何分法,以及i如何取 法，只要当 1 max 0 i i n x = → 时，和式 1 ( ) n i i i f x = 的极 限存在，则称此极限为 f x( )在[a,b]上的定积分，记为 ( ) b a f x dx
即心=m∑f八A,其中称fx)为被积函数， i=l f(x)dc为被积表达式，x为积分变量，a和b分别为积分 下限和积分上限，[a,b]为积分区间，∑f(5△x为积分和。 实例1，A=f(x)d;实例2，S=∫)d: 补充定义心fd=-心f(x)，f(xk=0 结论1f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 结论2f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点， 则f(x)在[a,b]上可积。 10
10 即 0 1 ( ) lim ( ) n b i i a i f x dx f x → = = ，其中称 f x( )为被积函数， f x dx ( ) 为被积表达式，x为积分变量，a 和 b 分别为积分 下限和积分上限，[a,b]为积分区间， 1 ( ) n i i i f x = 为积分和。 实例 1， ( ) b a A f x dx = ；实例 2， ( ) b a S v t dt = ； 补充定义 ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx = − ， ( ) 0 a a f x dx = 结论 1 f x( )在区间[a,b]上连续，则 f x( )在[a,b]上可积。 结论 2 f x( )在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点， 则 f x( )在[a,b]上可积
(二)几何意义 (1)f(x)≥0，Cfx)dr=S猫：(2)fx)≤0，Cfx)d=-S (3)一般情况下，fx)dk等于y=f(x),x=a x=b,y=O之间的各部分面积的代数和（见图) [f(x)dx=S,-S:+S,-Sa y=f(x) 11
11 (二)几何意义 （1）f x( ) 0, ( ) b a f x dx S = 曲；（2） ( ) 0, ( ) b a f x f x dx S = − 曲 （3）一般情况下， ( ) b a f x dx 等于y f x = ( ) , x=a, x=b,y=0之间的各部分面积的代数和（见图） 1 2 3 4 ( ) b a f x dx S S S S = − + − y a o x b y f x = ( ) S1 S2 3 S 4 S