利用信息技术工具，可以动态地展示a=入e1+Agez.1e2N图6.3-3上述讨论表明，平面内任一向量a都可以按ei，ez的方向分解，表示成入iei十入ze2的形式，而且这种表示形式是唯一的.事实上，如果a还可以表示成μiei十2e2的形式，那么eie2ei十ze可得（—ei十e2=0.由此式可以推出入一全为0（假设入，入2-不全为0，不妨假设一0，则=e2：由此可得e1：e共线，这与已知e1不共线矛盾），即入，入二2入一比也就是说，有且只有一对实数入i，入2，使a=入ei十入2e2综上，我们得到如下定理：平面向量基本定理如果ee是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数入，入，使ajer2e2若ei，ez不共线，我们把（ei，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底（base）由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一个基底唯一表示，这为我们研究问题带来了极大的方便例1如图6.3-4，OA，OB不共线，且AP=tAB(tER），用OA，OB表示OP.解：因为AP-tAB,-所以 OP-OA+AP图6.3-4-OA+tAB-OA+(OB-OA)=OA+1OB-1OA=(1-t)OA+tOB观察OP-(1-t)OA+LOB，你有什么发现？例2如图6.3-5，CD是△ABC的中线，CD=AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示.本题可取（CD，DA）为基底，用它表示CA，DRCB.证明CA·CB-O，可得CAICB，从而证得△ABC是直角三角形图6.3-526第六章平面向量及其应用
证明：如图6.3-6，设CD=a，DA=b，则CA=a+b，DB-—b，于是CB-a-bCA.CB=(a+b).(a-b)=a2-b2.1D因为CD=AB,2图6.3-6所以 CD=DA.因为a-CD，b2-DA所以CA·CB=0.向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线因此 CAICB.段（或直线）是否垂直的于是△ABC是直角三角形重要方法之一练习1.如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，CA=a，CB-b.用ab表示AB，AD，BE，CFR（第2题）（第1题）2.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，AB=a，AD=b，点E，F分别是OA，OC的中点，G是CD的三等分点（DGCD).（1）用a，b表示DE，FB，OG（2）能由（1）得出DE，BF的关系吗？3.如图，在△ABC中，AD=AB，点EF分别是ACBC的中点.设AB=a，AC-b.(1）用a，b表示CD，EFDB（2）如果A=60°，AB=2AC，CD，EF有什么关系？用向量方法（第3题）证明你的结论，6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示给定平面内两个不共线的向量e1，e，由平面向量基本定理可知，平面上的任意向量a，均可分解为两个向量入ei，入2e2，即a=入et十入2e2，其中向量入ier与e共线，向量入e2与e2共线不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向第六章平面向量及其应用27
量，叫做把向量作正交分解如图6.3-7，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见而实用的一种情形重力G可以分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力F垂直于斜面的压力F2.图6.3-7在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，将为我们研究问题带来方便思考我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？如图6.3-8，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取（i，）作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使得a=xi+yja这样，平面内的任一向量a都可由工，y唯一确定，我图6.3-8们把有序数对（，y）叫做向量a的坐标，记作①a-(r,y)其中，叫做a在a轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，①叫做向量a的坐标表示显然，=（1,0)，j=（0,1)，0=（0,0).如图6.3-9，在直角坐标平面中，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由向量a唯一确定.ox设OA=ri十yj，则向量OA的坐标（e，y）就是终点A的坐标，反过来，终点A的坐标（，y）也就是向量OA的坐标.因为OA=a，所以终点A的坐标（，y）就是图6.3-9向量α的坐标这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.28第六章平面向量及其应用
例3如图6.3-10，分别用基底i，j）表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标解：由图6.3-10可知，a=AA.+AA，-2i+3j，A所以a=（2，3).同理，-4-3-2-1071234xb=-2i+3j=（-2,3),c=-2i—3j-（-2,-3),d-2i-3j-(2,—3).图6.3-106.3.3平面向量加、减运算的坐标表示思考已知a=（iy）b=（zy2)，你能得出a+b，a-b的坐标吗？a+b=(rii+yij)+(azi+yj)=rii+azi+yj+yaj=(ri+r2)i+(yi+y2)j,即a+b=(i+a2yi+y2).同理可得a-b=(ai-x2,yi-y2)这就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）例4已知a=（2，1)，b=（-3，4)，求a+b，a-b的坐标解：a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5)，a-b=(2.1)-（3,4)=(5,-3).探究如图6.3-1l，已知A（ri，y)，B（r2yz），你能得出AB的坐标吗？A(X.yi)B(x2,y2)Xo图6.3-11第六章平面向量及其应用29
如图6.3-12，作向量OA，OB，则AB-OB-OAA(X.yD)=(a2, y2)-(riny1)B(x2,y2)=(2-,y2-),大o因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标图6.3-12y4例5如图6.3-13，已知口ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（—2，1），（一1，3），（3，4），求顶点D的坐标解法1：如图6.3-13，设顶点D的坐标为（z，y）因为AB=（-1-（-2)3-1)=(1,2),234x-2-10DC=(3-2，4-),图6.3-13又AB-DC,所以（1,2)=（3-a，4-)[1=3-a解得/2=2,，即2=4-y，ly=2.所以顶点D的坐标为（2，2).解法2：如图6.3-14，由向量加法的平行四边形法则可知1234元BD-BA+BC-2-10=（-2-（-1),1-3)+(3-(-1),4-3)图6.3-14=(3,-1),D而OD-OB+BD你能比较一下两种解法在思想方法上的异同点吗？=(-1,3)+(3,-1)=(2, 2),所以顶点D的坐标为（2，2）练习1.在下列各小题中，已知向量a，b的坐标，分别求a十b，a一b的坐标：(1)a=(-2,4),b=(5,2);(2)a=(4,3),b=(-3,8)(3)a=(2,3),b=(-2,-3);(4)a=(3,0),b=(0.4).2.在下列各小题中，已知A，B两点的坐标，分别求AB，BA的坐标：(1)A(3,5),B(6,9);(2)A(-3,4),B(6,3)(3)A(0,3),B(0,5);(4)A(3,0),B(8,0).3.若点A（0,1)，B1，0)，C(1，2），D（2，1)，则AB与CD有什么位置关系？证明你的猜想。30第六章平面向量及其应用