6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示思考已知a=（a，y），你能得出aa的坐标吗？Ma-入i+yj)-Ari+Ay即Aa=(ar,ay)这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标例6已知a=（2，1)，b=（-34），求3a+4b的坐标解：3a+4b=3(2.1)+4(-3.4)=(6,3)+（-12,16)=（-6,19)探究如何用坐标表示两个向量共线的条件？设a=（aiy），b=（z，y2)，其中b半0.我们知道，a，b共线的充要条件是存在实数入，使a=ab.如果用坐标表示，可写为(1,y1)=A(r2,y2),R即1-入2.Ly=入V2消去入，得-0这就是说，向量a，b（b0）共线的充要条件是Tiy2-2yi=0例7已知a=（4，2)，b=（6，y），且a//b，求y解：因为alb,所以4y-2×6-0.第六章平面向量及其应用31
解得y-3.例8已知A（-1，-1)，B（1，3)，C(2,5)，判断A，B,C三点之间的位置关系C.解：在平面直角坐标系中作出A，B，C三点（图6.3-15）3hB观察图形，我们猜想A，B，C三点共线.下面来证明.2h因为AB=(1-（-1)，3-（-1))-(2,4),1AC=(2—(-1),5-（-1))=(3,6),AP0121又2×6-4×3=0，所以AB/AC.又直线AB，直线AC有公共点A，图6.3-15所以A，B，C三点共线例9设P是线段PPz上的一点，点P，P2的坐标分别是（1yi)，（2y2)（1）当P是线段PP2的中点时，求点P的坐标；（2）当P是线段P，P2的-个三等分点时，求点P的坐标解：（1）如图6.3-16，由向量的线性运算可知OP-(OP+OP)-()若点PiP的坐标22分别为（），（工2所以，点P的坐标是(，+)y2)，线段PiP2的中点P22的坐标为（工，y)，则+t2yi+y2此公式为线段PP的中点坐标公式O图6.3-16（2）如图6.3-17，当点P是线段P,P，的一个三等分点时，有两种情况，即P,PPP或P.P=2PP.如果PP-PP，（图6.3-17(1)，那么OP-OP+PP-OP+1TP.P1(OP,-OP)-OPi+oP.-OPi+!O32第六章平面向量及其应用
2r+122y1+y23322i+122yi+y2)即点P的坐标是33X9OX(1)(2)图6.3-1721+212yi+2y2同理，如果PP-2PP（图6.3-17(2）），那么点P的坐标是33探究如图6.3-18，线段PP2的端点P1+P2的坐标分别是（a1，y1)（2y2），点P是直线PP上的一点，当PP一入PP，时，点P的坐标是什么？3图6.3-18练习1.已知a=（3：2），b=（0，-1），求-2a十4b，4a+3b的坐标2.当为何值时，a=（2，3）与b=（，—6）共线？3.若点A（-2，-3），B（2，2)，C(-1，3)，D（-7，-4.5)，则AB与CD是否共线？4.求线段AB的中点坐标：(1)A(2,1),B(4,3);(2)A(-1,2),B(3,6);(3)A(5,-4),B(3.-6)5.已知点O（0，0)，向量OA（2，3)，B=（6，-3)，点P是线段AB的三等分点，求点P的坐标第六章平面向量及其应用33
6.3.5平面向量数量积的坐标表示探究已知a=（riy)，b=（z2，y2），怎样用a与b的坐标表示a·b呢？因为a=aii十yj，b=ai+yzj,所以a·b=aii+yj)·（ri+yj)=rirzi+riyij+yirj.i+yiyaj2又i.i-l,j.j-l,i.j-j.i-0,所以a·b=rir2+yiy2.这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和由此可得(1)若a=(r，y)，则la2=+y,或la=/2+y如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为（y），（2，y2)，那么a=(2-α1,y2-y1),la=2-)+(2-)(2)设a=(ri,y1)，b=(12,yz)则albrir+yiy=0例10若点A（12)，B（2，3)，C（-25)，则△ABC是什么形状？证明你的猜想解：如图6.3-19，在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我们发现△ABC是直角三角形.证明如下.因为AB-(2-1,3-2)=(1,1),-2-10123xAC=(-2-1,5-2)=(-3,3),图6.3-19所以 AB·AC=1X(-3)+1X3=0.于是ABLAC.因此，△ABC是直角三角形设a，b都是非零向量，a=（zi，yi），b=（x2.y2），是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得a·bair2+yiy2cOs[a||b]Nai+yr+y例设a=（5，-7），b=（-6，一4)，求a.b及a，b的夹角0（精确到1）34第六章平面向量及其应用
解：ab-5X（-6）十（-7)X（-4）=—30+28=2.因为|a=/52+（7)-V74，1b|=（-6)2+（—4)=/52，所以用计算器计算可得a.b-2cOs9--0.03.Tal1b1/74x/52利用计算器中的“cos-1”键，得0~92°例12用向量方法证明两角差的余弦公式cos(a-β)=cosαcosβ+sinαsinβ证明：如图6.3-20，在平面直角坐标系zOv内作单位圆O，以工轴的非负半轴为始边作角α，β，它们的终边与单位圆Q的交点分别为A，B.则OA-(cosa,sina),OB-(cosβ,sinβ)VB终边B终边终边α终边(1)(2)图6.3-20由向量数量积的坐标表示，有OA.OB-cosαcosβ+sinαsinβ.设OA与OB的夹角为0，则OAOB-|OA/.JOBcOsQ=cOs0.所以cosg-cosαcosβ+sinasinp.另一方面，由图6.3-20（1）可知，α=2k元+β+0：由图6.3-20（2）可知，α=2k元十β-0.于是α-β=2k元±0，kEZ所以cos(a-β)=cos0.于是运用向量工具进行探cos(a-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.索，过程多么简洁时！第六章平面向量及其应用35