整理，得(la+b|cos0-lalcos01-|blcos02)e=-0,所以la+blcos@-lalcos0,-blcos02=-0,即a+b|cos0=|a|cos0,+|b|cos0所以la+b|lc|cos0=|allclcos0i+|bllclcos02.因此(a+b).c=a.c+b.c.思考设a，b，c是向量，（a·b）ea（b·c）一定成立吗？为什么？例11我们知道，对任意a，bER，恒有a+6)2=a2+2ab+63,(a+6)(a-b)=a2-b2.对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？(1)（a+b)2=a2+2a·b+b;(2)（a+b).(a-b)=a2-b2解：（(1)（a+b）=(a+b)·（a+b)=aa+a·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2;(2)(a+b).（a-b)=a·a-a.b+b.a-b.b=a2-62.因此，上述结论是成立的例12已知a=6，[bl=4，a与b的夹角为60%，求（a+2b）·（a-3b）解：(a+2b)·（a—3b)=a.a-3a·b+2b·a-6bb=|a|2-a-6-6||2=a|2-|a||6|cos0-6|b|2=62-6×4Xcos60-6X42=—72.例13已知a=3，[b|=4，且a与b不共线，当k为何值时，向量a+kb与a一kb互相垂直？第六章平面向量及其应用21
解：a+kb与a一kb互相垂直的充要条件是(a+kb)·(a-kb)-0,即a2-k2b2-0.因为a2-3-9,b2-42-16，所以9-16k2-0.K=土是解得43也就是说，当k=时，a+b与a一kb互相垂直N练习1.已知|a=1,[6=2，[c|=3，向量a与b的夹角为，为，向量6与c的夹角为元，计算(1)(a.b)c;(2)a(b.c).2.已知la=/2，[b|=1，且a-b与a+2b互相垂直，求证a1b.3.求证：（a+b)2-（a-b)2=4a·b.习题6.2复习巩固1如果a表示“向东走10km”，b表示“向西走5km”，c表示“向北走10km”，d表示“向南走5km，那么下列向量具有什么意义？Data:(2)a+b;(3)a+c;(4)b+d;(5)b+c+b;(6)d+a+d2.一架飞机向北飞行300km，然后改变方向向西飞行400km，求飞机飞行的路程及两次位移的合成3.一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为16km/h，同时河水流速的大小为4km/h.求船实际航行的速度的大小与方向（精确到1.4化简：(1).AB+BC+CA:(2)（AB+MB)+BO+OM（3)0A+OC+BO+CO;(4)AB-AC+BD-CD;(5)OA-OD+AD;(6)AB-AD-DC（7)NQ+QP+MN-MP5.作图验证：011(1)(a+b)+(2)2(a+b)-2(a-b)=b.2(a-b)=a;22第六章平面向量及其应用
6.（1）已知向量a，b，求作向量c：使a+b十c=0.（2）（1）中表示a，b，c的有向线段能构成三角形吗？7.已知a，b为两个非零向量，（1）求作向量a+b，a-b;（2）当向量a，b成什么位置关系时，满足la+bl=|a一bl？（不要求证明）8.化简：(1)5(2a-2b)+4(2b-3a);(2)6(a-3b+)-4(-a+b-c);1(3)3(6a—9b)2[(3a—2b)+5a-(4)（-y)(a+b)-(-y)(a-b).IAB.AN-LAC.AMBAC.求证MN-IBC.9.如图，AM-333（第9题）10.填空：广最小值为（1）若a，b满足la=2，[b|=3，则|a十b|的最大值为（2）当非零向量a，b满足时，a+b平分a与b的夹角，11.（1）已知a=3，b=4，且a与b的夹角0=150，求ab，（a十b）2，a十b（2)已知|a=2[b|=5，且a.b=-3，求|a十bl[a-bl-12.求证：--(1a)-b=^(a.b)=a(b)-1综合运用13.根据下列各小题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状，并给出证明(I)AD-BC,(2) ADBC;(3)AB-DC且AB=[ADI14.在△ABC中，AD=AB，DE//BC，且与边AC相交于点E、4△ABC的中线AM与DE相交于点N.设ABa，AC-b，用ab分别表示向量AE.BC,DE，DB，EC.DN.AN.15.如图，在任意四边形ABCD中、E，F分别为AD，BC的中点，求证：AB+DC=2EFFRC16.飞机从甲地沿北偏西15的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地沿南偏东75的方向飞行1400km到达丙地.画出飞机飞行的位移示意（第15题）图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？17.（1)如下页图（D)，在△ABC中，计算AB+BC+CA（2）如下页图（2)，在四边形ABCD中，计算AB+BC+CD+DA，-(3)如下页图（3)，在n边形AAAA中，AA,+AA+AA++A-A.+--AA,=？证明你的结论，第六章平面向量及其应用23
A2AA(1)(2)(3)（第17慧）18.已知|a|=4，[b=3，且（2a-3b）（2a+b）=61，求a与b的夹角0L19.已知|a=8，6|=10，且a十b|=16，求a与b的夹角0（精确到1°）.（可用计算工具）20.已知a是非零向量，b半c，求证：Ia.b-a.cal(b-c).拓广探索621.已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO-AB+AC，1OA|=|ABI，则向量BA在向量BC上的投影向量为（.ARIBCV3-(C)-BCBC(A)(D)(B)4422.如图，O是平行四边形ABCD外一点，用OA，OB，OC表示OD5C（第22题）23.已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量OA，OB，OC，OD满足等式OA+OCOB+OD.(1）作出满足条件的四边形ABCD.（2）四边形ABCD有什么特点？请证明你的猜想24如图，在C中，是不是只需知道C的半径或弦AB的长度，就可以求出AB·AC的值？（第24题）24第六章平面向量及其应用
6.3平面向量基本定理及坐标表示上节我们学习了向量的运算，知道位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？6.3.1平面向量基本定理我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力：反过来，一个力可以分解为两个力，如图6.3-1，我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力F分解为多组大小、方向不同的分力由力的分解得到启发我们能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量α是这两个向量的和呢？图6.3-1探究如图6.3-21)，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与er，e2都不共线的向量如图6.3-2（2），在平面内任取一点O，作OA-elOB=ez，oc一a.将a按ei，ea的方询分解，你有什么发现？CBe2(D)(2)图6.3-2如图6.3-3，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N，则OC-OM+ON.由OM与ei共线，ON与e2共线可得，存在实数入1，入2，使得OM=入rei，ON=入2ez所以a=入er十入2e2也就是说，与ei，e2都不共线的向量a都可以表示成入iei+入ze2的形式当a是与e或ez共线的非零向量时，a也可以表示成入fei十入e的形式；当a是零向量时，a同样可以表示成入er+^2e2的形式（为什么？）第六章平面向量及其应用25