解：分别作向量OA，OB.OC，过点A，C作直线AC（图6.2-17).观察发现，不论向量a，b怎样变化，点B始终在直线37AC上，猜想A，B，C三点共线事实上，因为26AB-OB-OA=a+2b-(a+b)=b,AC-OC-OA-a+3b-（a+b)-2b，所以AC-2ABO因此，A，B，C三点共线图6.2-1713例8已知a，b是两个不共线的向量，向量b一ta，b共线，求实数的值2421ob共线，13解：由a，b不共线，易知向量a一-26为非零向量。由向量6—1a，a2可知存在实数入，使得oD1b-ta-即1++1h3入十121.24一号α+1-0. 否则，不妨设+由a，b不共线，必有t+入半0，则ab.由121.两个向量共线的充要条件知，a，b共线，与已知矛盾1十2入=0,12由解得t=3321+1=0,1Tb共线时，t因此，当向量b一ta，20练习1.判断下列各小题中的向量a与b是否共线：(1)a=-2e,b=2e;(2)a-ei-e2.b=-2e十2e..2.化筒：(2)(a-2b)（3a-2b)(1)5(3a—2b)+4(2b-3a);(a-b);2(3)（+)a-(-y)a3.已知ei，ez是两个不共线的向量，a=ei2ez，b=2ei+ke若a与b是共线向量，求实数的值16第六章平面向量及其应用
6.2.4向量的数量积前面我们学习了向量的加、减运算，类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s（图6.2-18），那么力F所做的功图6.2-18W-FIs|cos e,其中是F与s的夹角功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念，因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念已知两个非零向量a，b（图6.2-19），0是平面上的任意一点，作OA=a，OB=b，则ZAOB=（0<0<元）叫做向量04Oa与b的夹角A显然，当0=0时，a与b同向；当=元时，a与b反向图6.2-19如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a上b已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量albcos叫做向量a与b的数量积（或内积（innerproduct）），记作a·b，即ab=|allb|coso规定：零向量与任一向量的数量积为0.对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关R例9已知[a|-5,[b]=4,a与b的夹角0-2,求a·b3,解.a.b=lallblcos02元=5×4×cos3=5×4X(—=-10.第六章平面向量及其应用17
例10设|a=12，b|9，a.b=-54/2，求a与b的夹角0.解由a.b-ablcoso,，得-54V2V2a.bCOS02[a||b]12X9因为0E[0，]，所以0=3元4如图6.2-20（1)，设a，b是两个非零向量，AB=a，CD=b，我们考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1B1，得到AB，我们称上述变换为向量a向向量b投影（project），AB叫做向量a在向量b上的投影向量BMbMNCABD(1)(2)图6.2-20如图6.2-20（2），我们可以在平面内任取一点O，作OM-a，ON-b.过点M作直线ON的垂线，垂足为Mi，则OM就是向量a在向量b上的投影向量，探究如图6.2-20（2)，设与b方询相同的单位向量为e，a与b的夹角为0，那么OM与e，a，之间有怎样的关系？显然，OM与e共线，于是OM,-Ae下面我们探究入与a，的关系，进而给出OM的明确表达式，我们分为锐角、直角、钝角以及0一0，一元等情况进行讨论当9为锐角（图6.2-21(1)）时，OM与e方向相同，入=OM/=lalcos0，所以OM-[OM,le-la|cos0e;当0为直角（图6.2-21（2））时，入=0，所以0M - lal o .18第大章平面向量及其应用
当0为钝角（图6.2-21（3））时，OM与e方向相反，所以入=-|OM,|=-a|cos/MOM)=-a|cos(元-0)=a|cos0,即OM-lalcos o e.MVMa6ho06OMNNbMNb0b(1)(2)(3)图6.2-21当0=0时，入=a，所以OM-ale-lalcosoe;当元时，入=a，所以OM,--|ale=[a|cosπe.从上面的讨论可知，对于任意的E[0，元]，都有OMi-lalcosge.探究从上面的探究我们看到，两个非零向量a与b相互平行或垂直时，向量α在向量b上的投影向量具有特殊性，这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？由向量数量积的定义，可以得到向量数量积的如下重要性质如果α·b=0，是否设a，b是非零向量，它们的夹角是0，e是与b方向相有a-0，或b=0？同的单位向量，则()ae=e·a=-lalcos0.(2)alba·b=0.（3）当a与b同向时，a·b=allbl，当a与b反向时，ab=-abl特别地，a·a=a或la=va·a.a·a常常记作a此外，由|cos<1还可以得到(4) la.bl<lallbl.第六章平面向量及其应用19
练习1.已知lp|=8，ll=6，p和q的角是60%，求p·9.2.已知△ABC中，AB=a，AC=b，当a·b<O或a·b-0时，试判断△ABC的形状3.已知|a=6，e为单位向量，当向量a，e的夹角0分别等于45°，90°，135°时，求向量a在向量e上的投影向量.与向量的线性运算一样，定义了向量的数量积后，就要研究数量积运算是否满足一些运算律探究类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：对于向量a，b，c和实数入，有()a.b=b·a;（2)（入a)b=入（ab)=a（入b)：(3)（a+b).c=a·c+b·c.下面我们利用向量投影证明分配律（3)证明：如图6.2-22，任取一点O，作OA=a，OB=b,Oc-c,OD-a+b.设向量a，b，a+b与c的夹角分别为の2，0，它.们在向量c上的投影向量分别为OA，OB，OD，与coe6bDiec方向相同的单位向量为e，则BI5AlOA,-lalcosQie,图6.2-22OBi-|bcos 0ze,OD-la+blcosge.因为a=BD，所以OA,=B,D.于是OD-OB+BD-OB+OA即la+blcose=lalcosQie+lblcos0ze.20第六章平面向量及其应用