6.2.2向量的减法运算思考在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”类比数的减法，向量的减法与加法有什么关系？如何定义向量的减法法则？与数的相反数是一类似，我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作一a.由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和一a互为相反向量，于是-(-a)-a.我们规定，零向量的相反向量仍是零向量由两个向量和的定义易知a十(-a)=(-a)十a=0即任意向量与其相反向量的和是零向量，这样，如果a，b互为相反向量，那么a=-b,b=-a,a十b-0向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a-b=a+(-b).求两个向量差的运算叫做向量的减法我们看到，向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量探究向量减法的几何意义是什么？如图6.2-10，设OA=a，OB-b，OD--b，连接AB，3a-b由向量减法的定义知a-b=a+（-b)=-OA+OD-OC.在四边形OCAB中，OBCA，所以OCAB是平行四边1形.所以a+(-b)CDBA-oc-a-b.a由此，我们得到a一b的作图方法图6.2-10如图6.2-11，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作第六章苹面向量及其应用11
OA=a，OB-b，则BA=a-b.即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义，图6.2-11思考（1）在图6.2-11中，如果从a的终点到b的终点作向量，那么所得向量是什么？（2）如果改变图6.2-11中向量a的方向，使a/b，怎样作出a一b呢？例3如图6.2-12（1)，已知向量a，b，c，d，求作向量a-b，c-d6Da-b(2)(1)图6.2-12作法：如图6.2-12（2)，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d.则BA=a-b,DC=c-d.例4如图6.2-13，在口ABCD中，AB=a，AD-b，你能用a，b表示向量AC，DB吗？解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC-a+b.同样，由向量的减法，知图6.2-13DB-AB-AD-a-b.练习1.如下页图，在各小题中，已知a，b，分别求作a一b12第六章平面向量及其应用
b(1)(4)(2)(3)（第1题）2.填空：BA-BC-AB-AD-BC-BA-OD-OA-OA-OB3.作图验证：-（a十b)=-a-b.6.2.3向量的数乘运算探究已知非零向量a，作出a十a十a和（-a）十（-a）十（-a）.它们的长度和方向分别是怎样的？如图6.2-14，OC-0A+AB+BC=a+a+a.类比数的乘法，我们把a十a十a记作3a，即Oc-3a.显然3aBCoA的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即|3a|-3|a|.aQNMP类似地，由图6.2-14可知，PN-PQ+QM+MN=图6.2-14（a)+（-a）+（-a)，我们把（-a）+（-a）+（a）记作—3a，即PN=—3a.显然—3a的方向与a的方向相反，一3a的长度是a的长度的3倍，即一3a=3a一般地，我们规定实数入与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘（multiplicationofvectorbyscalar），记作入a，它的长度与方向规定如下：(1)/入a|=[入|al;（2）当入>0时，a的方向与a的方向相同；当入<0你对零向量、相反向时，入a的方向与a的方向相反，量有什么新的认识？由（1）可知，当入=0时，入=0由（1）（2）可知，（-1)a=-a.第六章平面向量及其应用13
思考如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量b，向量b该如何表示？向量a，b之间的关系怎样？根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的设入，为实数，那么(1)α(pa)=(ap)a（2)（入+μ)a=入a+pa;(3)入（a+b)=入a+入.特别地，我们有()a=(入a)入(a),入(ab)-a-入b向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量，对于任意向量a，b，以及任意实数入，2恒有（piab）piazb例5计算：(1)(-3)X4a;(2)3(a+b)-2(a-b)-a(3）（2a+3b—c)—（3a—2b+c).解：（1）原式=（—3×4）a=—12a（2）原式-3a十+3b-2a+2b-a=5b：（3）原式=-2a+3b—c-3a+2b—c=-a+5b-2c.例6#如图6.2-15，口ABCD的两条对角线相交于点M且AB-a，AD-b，用a，b表示MA，MB，MC和MD解：在口ABCD中，AC-AB+AD-a+b,aDB-AB-AD-a-b.图6.2-15由平行四边形的两条对角线互相平分，得11AC--MA-2(a+b)=-b24-2111MB-DB-2(a-b)=-b202214第六章平面向量及其应用
MCAC2a+1DB-MD-ba-22练习1.任画一向量e，分别求作向量a=4e，b=一4eAC5则AC-AB.BCAB2.点C在线段AB上，且CB3.把下列各小题中的向量b表示为实数与向量a的积：(2)a=8e,b=-14e;(1)a=-3e,b-6e;2123(3)a=(4)ae,be.b=3e,e.33探究引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？可以发现，实数与向量的积与原向量共线事实上对于向量a（a0，b，如果有一个实数入，使b=入a，那么由向量数乘的定义可知a与b共线反过来，已知向量a与b共线，且向量b的长度是向量a的长度的倍，即b=μlal，那么当a与b同方向时，有b=pa，当a与b反方向时，有b=一ua.综上，我们有如下定理：向量a（a0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数入，使b一入a根据这一定理，设非零向量α位于直线1上，那么对于直线1上的任意一个向量b，都存在唯一的一个实数入，使b一入a，也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示。例7如图6.2-16，已知任意两个非零向量a，b，试作OA=a+b，OB=a十2b，Oc=a十+3b.猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想，图6.2-16分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线，为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上，在本题中，应用向量知识判断A，B，C三点是否共线，可以通过判断向量AC，AB是否共线，即是否存在入，使AC-入AB成立第六章平面向量及其应用15