回阅读与思考向量及向量符号的由来向量最初应用于物理学，被称为失量，很多物理量，如力、位移、速度、电场强度、磁感应强度等都是向量，向量的概念萌芽于二千多年前，大约在公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德（Aristotle，公元前384一前322）就知道了力可以表示成向量，“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。最先使用有向线段表示向量的是英国科学家牛顿（IsaacNewton，1642—1727).向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出“箭头表示方向，线段长表示大小”的有向线段来表示它，1806年，瑞士人阿尔冈J.RArgand，1768—1822）以AB表示有向线段或向量1827年，默比鸟斯（AF.Mobius，1790—1868）以AB表示起点为A，终点为B的向量，这种用法被数学家广泛接受.另外，哈密领（W.RHamilton，1805-一1865）、吉布斯（J.W.Gibbs，18391903）等人则以小写希腊字母表示向量.后来，字母上加箭头表示向量的方法逐渐流行，尤其用在手写稿中：为了方便印刷，人们又用粗黑体小写字母，b等表示向量，这两种符号一直沿用至今。莱布尼茨（G.W.Leibniz，16461716）曾经从位置几何学研究的视角进行过预想：“我已经发现了一些完全不同的有新特点的元素，即使在没有任何图形的情况下，它也能有利于表达思想、表达事物的本质，我的这个新系统能紧跟可见的图形，以一种自然的、分析的方式，通过一个确定的程序同时给出解、构造和几何的证明”菜布尼茨所说的“有新特点的元素”和“新系统”就是逐渐形成和发展起来的向量及其理论向量进入数学并得到发展，是从复数的几何表示开始的，1797年，丹麦测量学家韦塞尔（CasparWessel，17451818）把复数表示为向量，并利用向量定义复数运算，他把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何与三角问题，人们逐步接受了复数，也学会了利用复数表示、研究平面中的向量发展到现在，向量在数学、物理、计算机科学与技术等学科，以及社会生产、生活、经济、金融与贸易等各领域中都有广泛的应用，成为解决这些领城中各种问题的有力工具。你能说一说用符号表示向量所起的重要作用吗？6第六章平面向量及其应用
6.2平面向量的运算我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算，本节我们就来研究平面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用下面先学习向量的加法6.2.1向量的加法运算我们知道，位移、力是向量，它们可以合成能否从位移、力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？思考C如图6.2-1，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？图6.2-1物理知识告诉我们，这个质点两次位移AB，BC的结果，与从点A直接到点C的位移AC结果相同。因此，位移AC可以看成是位移AB与BC合成的.数的加法启发我们，从运算的角度看，AC可以看作是AB与BC的和，即位移的合成可以看作向量的加法，如图6.2-2，已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作AB=a，BC-b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC-AC3L图6.2-2第六章平面向量及其应用7
求两个向量和的运算，叫做向量的加法，这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型，我们再来看力的合成问题思考B如图6.2-3，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力F与F2的作用，你能作出这个物体所受的合力F吗？F图6.2-3我们知道，合力F在以OA，OB为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长，从运算的角度看，F可以看作是F与F的和，即力的合成可以看作向量的加法.如图6.2-4，以同一点Q为起点的两个已知向量a，6b，以OA，OB为邻边作OACB，则以O为起点的向量1XOC（OC是口OACB的对角线）就是向量a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法a则，力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型图6.2-4思考向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？对于零向量与任意向量4，我们规定a+0-0十a=a例1如图6.2-5，已知向量a，b，求作向量a+b作法1：在平面内任取一点O（图6.2-6（1）），作OA-a，AB-b.则OB=a+b作法2：在平面内任取一点O（图6.2-6（2）），作OA=a，OB=b.以OA，OB为邻边作口OACB，连接OC，则OC-OA+OB=a十bOO8(1)(2)图6.2-5图6.2-68第六章平面向量及其应用
探究（1）如果向量a，b共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能作出量a+b吗？（2）结合例1，探索la十b[a|，[b|之间的关系一般地，我们有[a+bl<la|+lb,当且仅当a，b方向相同时等号成立根据数的运算的学习经验，定义了一种运算，就要研究相应的运算律，运算律可以有效地简化运算，探究数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？如图6.2-7（1)，作AB=a，AD=b，以AB，AD为邻边作口ABCD，容易发现BC-b，DC=a，故AC-AB+BC-a+b.又AC-AD+DC-b+a，所以a+b-b+a.a+b+ca+bB(1)(2)图6.2-7由图6.2-7（2），你能否验证a+(b+c）=(a+b)+c综上所述，向量的加法满足交换律和结合律例2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输·如图6.2-8，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为C15km/h，同时江水的速度为向东6km/h.（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际图6.2-89第六章平面向量及其应用
航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到1解：（1）如图6.2-9.AD表示船速，AB表示江水速度，以AD，DAB为邻边作口ABCD，则AC表示船实际航行的速度（2）在Rt△ABC中，AB=6，BC=15，于是AC|=//AB/2+|BC/2-/6+152=/261~16.2.BC5图6.2-9因为tan/CAB所以利用计算工具可得／CAB~68°2AB]因此，船实际航行速度的大小约为16.2km/h，方向与江水速度间的夹角约为68°练习1.如图，在下列各小题中，已知向量4，b，分别用两种方法求作向量a十b.7aPa)(3)(4)(2)（第1题）2.当向量a，b满足什么条件时，[a+b|=a|-|b（或|bl-[a|)？D3.根据图示填空：(1)a+b=:(2)c+d=;9(3)a+b+d=B(4)c+d+e=（第3题）4.如图，四边形ABCD是平行四边形，点P在CD上，判断下列各式D.是否正确（正确的在括号内打“”，错误的打“×”）.(1)DA+DP-PA(1(2)DA+AB+BP-DP(BA(3)AB+BC+CP-PA.(O（第4题）5.有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河，小船航行速度的大小为15km/h，方向为北偏西30%，河水的速度为向东7.5km/h，求小船实际航行速度的大小与方向，10第六章平面向量及其应用