第六章平面向量及其应用在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后只用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等，还有一些量则不是这样，例如下图中小船的位移，小船由A地向东南方向航行15nmile到达B地（速度的大小为10nmile/h）.这里，如果仅指出“由A地航行15nmile”，而不指明“向东南方向”航行，那么小船就不一定到达B地了，这就是说，位移是既有大小又有方向的量，力、速度、加速度等也是这样的量，对这种既有大小又有方向的量加以抽象，就得到了我们本章将要研究的向量向量是近代数学中重要和基本的概念之一，向量理论具有丰富的物理背景、深刻的数学内涵，向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通儿何与代数的桥梁，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用本章我们将通过实际背景引人向量的概念，类比数的运算学习向量的运算及其性质，建立向量的运算体系，在此基础上，用向量的语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的一些问题
6.1平面向量的概念我们知道，力、位移、速度等物理量是既有大小、又有方向的量，本节我们将通过对这些量的抽象，形成向量概念及其表示方法：通过研究向量之间的一些特殊关系，初步认识向量的一些特征6.1.1向量的实际背景与概念在本章引言中，小船位移的大小是A，B两地之间的距离15nmile，位移的方向是东南方向：小船航行速度的大小是10nmile/h，速度的方向是东南方向.又如，物体受到的重力是竖直向下的（图6.1-1），物体的质量越大，它受到的重力越大：物体在液体中受到的浮力是坚直向的（图6.1-2），物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大IFC图6.1-1图6.1-2力、位移、速度等有各自的特性，而“既有大小，又有方向”是它们的共同属性，我们知道，从一支笔，一棵树、一本书……中，可以抽象出只有大小的数量“”类似地2我们可以对力、位移、速度这些量进行抽象，形成一种物理学中常称向量为新的量，失量，数量为标量，你还在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量能举出物理学中的一些向（vector），而把只有大小没有方向的量称为数量，如年龄量和数量吗？身高、长度、面积、体积、质量等都是数量6.1.2向量的几何表示由于数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量，那么，该如何表示向量呢？我们仍以位移为例，小船以A为起点，B为终点，我们可以用连接A，B两点的线2第六章平面向量及其应用
段长度代表小船行进的距离，并在终点B处加上箭头表示小船行驶的方向，于是，这条“带有方向的线段”就可以用来表示位移，受此启发，我们可以用带箭头的线段来表示向量，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向通常，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设·A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方表示有向线段时，起向的线段叫做有向线段（directedlinesegment）（图6.1-3)点一定要写在终点的前面通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作AB，线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，记作ABI.B（终点）A（起点）图6.1-3有向线段包含三个要素：起点、方向、长度，知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了向量可以用有向线段AB来表示，我们把这个向量记作向量AB.有向线段的长度AB表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，用有向线段表示向量，使向量有了直观形象印刷用黑体a，书向量AB的大小称为向量AB的长度（或称模），记作写用a.[ABl.长度为0的向量叫做零向量（zerovector），记做0.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量（unitvector）向量也可以用字母a，b，c，表示A.例1在图6.1-4中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离（精确到1km）解：AB表示A地至B地的位移，且AB~AC表示A地至C地的位移，且|AC～图6.1-46.1.3相等向量与共线向量下面，我们通过向量之间的关系进一步认识向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（parallelvectors）.图6.1-5如图6.1-5，用有向线段表示的向量a与b是两个平行向量第六章平面向量及其应用3
向量a与b平行，记作a//b.我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0/α.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量（equalvector）如图6.1-6，用有向线段表示的向量a与b相等，记作a=b.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关：同时，两条方向相同且长度相等的有向线图6.1-6段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定，如图6.1-7.a：b，c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线1，在！上任取一点O，则可在1上分别作出OA一a，OB-b，OC=c.这就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量（collinearvectors）0BA图6.1-7例2如图6.1-8，设O是正六边形ABCDEF的中心（1）写出图中的共线向量；（2）分别写出图中与OA，OB，OC相等的向量解：（1)OA，CB，DO，FE是共线向量；OB，DC，EO，AF是共线向量；OC，AB，ED，FO是共线向量(2)OA-CB-DO;OB-DC-EO;图6.1-8OC-AB-ED-FO.练习1.下列量中哪些是向量？悬挂物受到的拉力，压强，摩擦力，频率，加速度2.画两条有向线段，分别表示一个竖直向下、大小为18N的力和个水平向左、大小为28N的力.（用1cm长表示10N）3.指出图中各向量的长度，（规定小方格的边长为0.5）4.将向量用具有同一起点○的有向线段表示（1）当OM与ON是相等向量时，判断终点M与N的位置关系；（2）当OM与ON是平行向量，且|OM|=2|ON|=1时，求向量（第3题）MN的长度，并判断MN的方向与ON的方向之间的关系。4第六章平面向量及其应用
习题6.1复习巩固1.在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量：（1）[OA|=4，点A在点O正南方向1OB=2/2，点B在点O北偏西45°方向；(2)（3）1OC|=2，点C在点O南偏西30°方向（第1题）（第2题）2.如图，点O是口ABCD的对角线的交点，且OA=a，OB=b，AB=c，分别写出口ABCD和折线MPQRST中与a，bc相等的向量.综合运用3.判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“”，错误的打“×”），并说明理由C)（1）若a与b都是单位向量，则a=b.()（2）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量(2（3）直角坐标平面上的轴、y轴都是向量(2（4）若a与b是平行向量，则a=b(（5）若用有向线段表示的向量AM与AN不相等，则点M与N不重合.(5（6）海拔、温度、角度都不是向量，拓广探索4.如图，在矩形ABCD中，AB=2BC-2，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，DM，N为起点和终点的所有有MAB向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对？（第4题）5第六章平面向量及其应用