证Vx1,x2∈(a,b),且x1<x2,应用拉氏定理得 f(x2)-f(x1)=∫'(2)(x2-x1)(x1<5<x2) ∵x2-x1>0, 若在(a,b)内,∫(x)>0,则∫(4)>0, f(x2)>f(x1),∴y=∫(x)在,b上单调增加 若在(a,b内,f(x)<0,则∫(5)<0, f(x2)<∫(x1)y=f(x)在,b上单调减少
证 , ( , ), x1 x2 a b , 且 x1 x2 应用拉氏定理,得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 x2 x1 x1 x2 f x − f x = f − 0, x2 − x1 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调增加. 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调减少
例1判断函数y=x-sinx在0,2zl上的单调性 解 y=1-c0sx>0. <0 函数单调增加
例 1 解 判断函数 y = x −sin x在[0，2]上的单调性. y = 1− cos x 0. y 0, 函数单调增加. 1 2 3 4 5 6 123456
例2判断函数y=e-x的单调性 解 e-1.又∵:D:(-0,+∞) 在(-,0内,y<0, ∴函数单调减少 在(0,+∞肭内,y>0,∴函数单调增加 注1:要用导数在区间上的符号来判定,而不能用 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性 注2:函数在定义区间上不是单调的,但在各 个部分区间上单调
例2 解 判断函数 y e x的单调性. x = − = − 1. x y e 在(−,0)内, y 0, 函数单调减少； 在(0,+)内, y 0, 函数单调增加. 注1:要用导数在区间上的符号来判定，而不能用 一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 又D :(−,+). -3 -2 -1 1 2 3 2 3 4 5 注2：函数在定义区间上不是单调的，但在各 个部分区间上单调．
3单调区间求法 1、单调区间定义:若函数在其定义域的某个区 间内是单调的,则该区间称为函数的单调区间 2、单调区间的划分 导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间 的分界点 用方程∫(x)=0的根及f(x)不存在的点 来划分函数f(x)的定义区间,然后判断区间内导 数的符号
3 单调区间求法 1、单调区间定义:若函数在其定义域的某个区 间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． . ( ) , ( ) 0 ( ) 数的符号 来划分函数 的定义区间 然后判断区间内导 用方程 的根及 不存在的点 f x f x = f x 2、单调区间的划分
例3确定函数f(x)=2x3-9x2 +12x-3的单调区间 解∵D:(-∞,+∞) X 1.522.53 ∫(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 解方程f(x)=0得,x=1,x2=2 当-∞<x<时,f(x)>0,∴在(-∞,1单调增加; 当1<x<2时,f(x)<0,∴在1,2上单调减少; 当2<x<+∞时,∫"(x)>0,∴在[2,+0)上单调增加; 单调区间为(-∞,1[1,2l,[2,+∞)
例3 解 12 3 . ( ) 2 9 3 2 的单调区间 确定函数 + − = − x f x x x D :(−,+). ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x − 1)(x − 2) 解方程f (x) = 0 得， 1, 2. x1 = x2 = 当− x 1时， f (x) 0, 在(−,1]上单调增加； 当1 x 2时， f (x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x +时， f (x) 0, 在[2,+)上单调增加； 单调区间为 (−,1]， [1,2]，[2,+)