例4确定函数∫(x)=3x2的单调区间 解函数的定义域为+∞0 2 f(x)= (x≠0) y=vr 当x=0时,导数不存在 当-∞<x<Q时,f(x)<0,∴在(-,0上单调减少 当0<x<+0时,∫(x)>0,∴在[0,+∞)上单调增加; 单调区间为(-∞,0[0,+∞)
例4 解 ( ) . 确定函数 f x = 3 x 2 的单调区间 函数的定义域为(− ,+ ). , ( 0) 3 2 ( ) 3 = x x f x 当x = 0时,导数不存在. 当− x 0时， 当0 x +时，f (x) 0, 在[0,+)上单调增加； f (x) 0, 在(−,0]上单调减少； 单调区间为 (−,0]， [0,+). 3 2 y = x
例3确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3 的单调区间 解:1)定义域为(∞、+∞ 2)f"(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 令f"(x)=0得x1=1x2=2 3)列表 x(∞、1)1(1、2)2|(2、+o y 4)由表可知:函数的单调增区间为(-∞、1]∪[2、+∞) 单调减区间为(1、2)。 练习:确定菡数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间
的单调区间。 例3.确定函数 ( ) 2 9 12 3 3 2 f x = x − x + x − 解： 1） 定义域为(-∞、+∞) 2) f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 3)列表： 令 f'(x)=0 得x1=1 x2=2 4）由表可知：函数的单调增区间为（-∞、1]∪[2、+∞） 单调减区间为（1、2）。 x y' y (-∞、1) + 1 0 （1、2） - + 2 (2、+∞) 0 练习：确定函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间
例4:求函数f(x) X 的单调区间 1 解:1)定义域为(-∞、-1)∪(-1、+∞) 2)f(x)= x(x+2) 令f(x)=0得x1=-2、x2=0 3)列表: x(-∞、2)2(-2、-1)(-1、0)0(0、+∞) y 0 4)由表可知函数的单调增区间为(-∞、-2)∪(0、+∞) 单调减区间为(2、-1)∪(1、0)
例4： 求函数 的单调区间 1 x x f(x) 2 + = 解： 1）定义域为(-∞、-1)∪（-1、+∞). 2 (1 x) x(x 2) 2 f'(x) + + ） = 令f '(x) = 0 得x1 = −2、x2 = 0 3)列表: (-∞、-2) + -2 0 （-1、0） - 0 0 + (0、+∞) 4） 由表可知函数的单调增区间为(-∞、-2)∪(0、+∞) 单调减区间为（-2、-1）∪（-1、0）。 x y’ y （-2、-1） -
4单调性的应用 例5当x>时,试证2x>3-成立 证设r(x)=2x-3+1 则∫(x) x√x f(x)在1,+∞)上连续且(】)可导,f(x)>0, 故在】,+∞)上单调增加;∵f(1)=0, 当x>l时,f(x)>0 当x>时,2x>3--成立
4 单调性的应用 例5 证 . 1 当 1时,试证2 3 成立 x x x − ( 1) 1 1 1 ( ) 2 2 = − = x x − x x x 则 f x f (x)在[1,+ )上连续,且(1,+ )可导，f (x) 0, 故在[1,+ )上单调增加； f (1) = 0, 当x 1时， x f x x 1 设 ( ) = 2 − 3+ f (x) 0 . 1 当 1时,2 3 成立 x x x −
例6试证sinx=x只有一个实根。 解:先证存在性:观察法x=0 再证唯一性应用单调性 设f(x)=sinx-x f(x)=cosx-1≤0
例6试 证sin x = x只有一个实根。 解：先证存在性:观察法x = 0 f (x) = cos x −1 0 f (x) = sin x − x ( 设 再证唯一性应用单调性）