例2证明当x>Q时, <In(1+x)<x 1+x 证设f(x)=n(1+x), f(x)在0,x止上满足拉氏定理的条件, ∴∫(x)-f(0)=∫(号)(x-0),(0<号<x f(0)=0,f'(x) 1+x ,由上式得In(1+x)= l+ξ 又:0<号<x1<1+2<1+x <1 +x1+ξ <r 1+x1+ξ 即,<mn(1+x)<x 1+x
例2 ln(1 ) . 1 0 , x x x x x + + 证明当 时 证 设 f (x) = ln(1+ x), f (x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件, f (x) − f (0) = f ()(x − 0),(0 x) , 1 1 (0) 0, ( ) x f f x + = = 由上式得 , 1 ln(1 ) + + = x x 又0 x 1 1+ 1+ x 1, 1 1 1 1 + + x , 1 1 x x x x + + ln(1 ) . 1 x x x x + + 即
第四节函数的单调性
第四节 函数的单调性
第四节(I)函数的单调性 问题的提出 单调性的判别法 单调区间求法 四单调性的应用 五小结与思考判断题
二 单调性的判别法 第四节（I） 函数的单调性 三 单调区间求法 四 单调性的应用 五 小结与思考判断题 一 问题的提出
函数的单调性 1问题的提出 y=f(r) B b x 0 a 6 x ∫(x)≤ 若y=f(x)在区间(,b)上单调上升<个(x)≥0 若y=f(x)在区间(a,b)上单调下降 f(x)≤0
1 问题的提出 x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 0 f (x) 0 a b B A 若 y = f (x) 在区间（a,b)上单调上升 若 y = f (x) 在区间（a,b)上单调下降 f (x) 0 三 函数的单调性
2单调性的判别法 定理 设函数y=f(x)在|a,b上连续,在(a,b内可导 (1)如果在(a,b内f(x)>0,那末函数y=f(x) 在a,b上单调增加; (2)如果在(a,b)内∫(x)<0,那末函数y=f(x) 在[a,b上单调减少
2 单调性的判别法 定理 [ , ] . (2) ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] 1 ( , ) ( ) 0 ( ) ( ) [ , ] ( , ) . 在 上单调减少 如果在 内 ，那末函数 在 上单调增加； （ ）如果在 内 ，那末函数 设函数 在 上连续，在 内可导 a b a b f x y f x a b a b f x y f x y f x a b a b = = =