例1证明方程x5+x-1=0有且仅有一个正实根 证:1)存在性 设∫(x)=x5+x-1,则f(x)在0,连续, 且f(0)2=-1,f(1)=1.由零点定理 彐xo∈(0,1,使∫(x)=0.即为方程的正实根 2)唯一性 设另有x,∈(0,1),x1≠x,使∫(x1)=0 f(x)在x0,x1之间满足罗尔定理的条件, ∴至少存在一个ξ(在x,x1之间使得f(8)=0 但∫(x)=5x2+1>0(x∈(0,1))矛盾,为唯一实根
例1 1 0 . 证明方程x 5 + x − = 有且仅有一个正实根 2）唯一性 ( ) 1, 5 设 f x = x + x − 则 f (x)在[0,1]连续, 且 f (0) = −1, f (1) = 1. 由零点定理 (0,1), ( ) 0. x0 使 f x0 = 即为方程的正实根. (0,1), , 设另有 x1 x1 x0 ( ) 0. 使 f x1 = ( ) , , f x 在 x0 x1 之间满足罗尔定理的条 件 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间),使得 f () = 0. ( ) 5 1 0 4 但 f x = x + (x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根. 证：1）存在性
将罗尔定理条件中去掉f(a)=f(b,得到 3拉格朗日( Lagrange)中值定理 拉格朗日( Lagrange)中值定理如果函数(x)在 闭区间a,b上连续,在开区间a,b)内可导,那末在 (a,b)内至少有一点(a<<b),使等式 f(b)-f(a)=f(2)(b-a)成立 结论亦可写成(b)-()=r(E)
3 拉格朗日(Lagrange)中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)在 闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那末在 (a,b)内至少有一点(a b)，使等式 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f b − a 成立. 将罗尔定理条件中去掉f (a) = f (b),得到( ). ( ) ( ) = − − f b a f b f a 结论亦可写成
几何解释: y=∫(x) B 在曲线弧AB上至少有 点C,在该点处的切 D 线平行于弦AB. 0a1x…2 化归证明 证分析:条件中与罗尔定理相差f(a)=f(6.法 弦AB方程为y=f(a)+ f(b)-∫(an) x-a b-a 曲线f(x)减去弦AB, 所得曲线n,b两端点的函数值相等
o a 1 x 2 b x y y = f (x) A B C N D M 几何解释 : . , AB C AB 线平行于弦 一点 在该点处的切 在曲线弧 上至少有 证 分析 : 条件中与罗尔定理相差f (a) = f (b). 弦AB方程为 ( ). ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a y f a − −− = + 曲线 f (x) 减去弦 AB, 所得曲线a,b两端点的函数值相等. 化归证明法
作辅助函数 F(x)=∫(x)-1/(a)+∫(b)-f(a x-a b-a F(x)满足罗尔定理的条件 则在(a,b内至少存在一点ξ,使得F(2)=0. 即∫(2) f∫(b)-f(a) 拉格朗日中值公式 或f(b)-f(a)=f'(2)(b-a) 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系
作辅助函数 ( )]. ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) x a b a f b f a F x f x f a − − − = − + F(x)满足罗尔定理的条件, 则在(a,b)内至少存在一点,使得 F() = 0. 0 ( ) ( ) ( ) = − − − b a f b f a 即 f 或 f (b) − f (a) = f ()(b − a). 拉格朗日中值公式 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系
拉格朗日中值公式另外的表达方式: f(x0+△x)-f(x0)=f(xo+△x)·△x(0<6<1) 也可写成y=f(x0+6△x)Ax(0<6<1) 拉格朗日中值公式又称有限增量公式 推论1如果函数∫(x)在区间Ⅰ上的导数恒为零, 那末∫(x)在区间上是一个常数 证明:在上任取两点x1,x2(x1<x2) 则f(x2)-f(x1)=f'()(x2-x1)(x1<5<x2) ∫'()=0,;f(x2)-f(x1)=0即f(x2)=f(x1) 由于x1,x2的任意性,所以∫(x)在/上是常数
( ) ( ) ( ) (0 1). f x0 + x − f x0 = f x0 + x x ( ) (0 1). 也可写成y = f x0 + x x 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 推论1 ( ) . ( ) , 那 末 在区间 上是一个常数 如果函数 在区间 上的导数恒为零 f x I f x I 拉格朗日中值公式另外的表达方式： , ( ), x1 x2 x1 x2 证明：在 I上任取两点 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 x2 x1 x1 x2 则f x − f x = f − f () = 0, f (x2 )− f (x1 ) = 0 ( ) ( ) 2 x1 即f x = f , ( ) . 由于x1 x2 的任意性，所以 f x 在I上是常数