上2物理意义非均匀变化量的瞬时变化率 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度 p()=him△z →>0△tLt 午交流电路:电量对时间的导数为电流强度 i()=1im= △t→>0 △tdt 非均匀的物体:质量对长度(面积体积)的导 王数为物体的线面体)密度 反回
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率. 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度. ( ) lim . 0 dt ds t s v t t 交流电路:电量对时间的导数为电流强度. ( ) lim . 0 dt dq t q i t t 非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导 数为物体的线(面,体)密度
生五可导与连续的关系 定理凡可导函数都是连续函数. 证设函数f(x)在点x可导, △ △ lim =f(o) f(xo+a △x→>0△ △ a→0(△x→0)c=∫(x0)△x+a△x imy=limf(x0)△x+a△xl=0 △v→0 △v→0 函数f(x)在点x连续 反回
五、可导与连续的关系 定理 凡可导函数都是连续函数. 证 ( ) , 设函数 f x 在点x0可导 lim ( ) 0 0 f x x y x ( ) 0 f x x y y f (x0 )x x lim lim[ ( ) ] 0 0 0 y f x x x x x 0 ( ) . 函数 f x 在点 x0连续 0 (x 0)
王 注意:该定理的逆定理不成立 ★连续函数不存在导数举例 王1.函数∫(x)连续,若f(x)≠f(x则称点x 王为函数f(x)的角点,函数在角点不可导, 例如, y=x 2 f(x)= ,so x,x>0 王在x=0处不可导,x=0为f(x)的角点 反回
连续函数不存在导数举例 ( ) , . 1. ( ) , ( ) ( ) 0 0 0 为函数 的角点 函数在角点不可导 函数 连续 若 则称点 f x f x f x f x x x y 2 y x 0 例如, y x , , 0 , 0 ( ) 2 x x x x f x 在 x 0处不可导, x 0为 f (x)的角点. 注意: 该定理的逆定理不成立. ★
2设函数∫(x)在点x连续,但 △y lim - =lim f(x+△x)-f(x0) △x→0△△x→>0 △x 称函数∫(x)在点x有无穷导数(不可导) 例如, x 4 ∫(x)=x-1, 在x=1处不可导. 反回
3 y x 1 x y 0 1 ( ) .( ) , ( ) ( ) lim lim 2. ( ) , 0 0 0 0 0 0 称函数 在点 有无穷导数 不可导 设函数 在点 连续 但 f x x x f x x f x x y f x x x x 例如, ( ) 1, 3 f x x 在 x 1处不可导
庄3函数(在连续点的左右导数都不存在 牛(指摆动不定),则x点不可导 例如, 工工 x≠0 f(x)= r sin x=0 / 在x=0处不可导 反回
( ) , . 3. ( ) 指摆动不定 则 0点不可导 函数 在连续点的左右导数都 不存在 x f x , 0, 0 , 0 1 sin ( ) x x x x f x 例如, 在x 0处不可导. 0 1 －1/π 1/π x y