第六章定积分及其应用 §6.1定积分的概念 §6.2定积分的性质 f(r)dx §6.3微积分学基本定理 §6.4定积分的计算方法 §6.5广义积分 §6.6定积分的应用
1 第六章 定积分及其应用 §6.1定积分的概念 §6.2定积分的性质 §6.3微积分学基本定理 §6.4定积分的计算方法 §6.5广义积分 §6.6定积分的应用 ( ) ? b a f x dx =
第六章定积分及其应用 前一章讨论了已知一个函数的导数,如何求原来的函数, 这样一个积分学的基本问题—不定积分 这一章将讨论积分学的另一个基本问题—定积分 本章的主要问题有: 1什么是定积分? 2定积分有哪些性质? 3定积分与不定积分有何关系? 4如何计算定积分和应用定积分?
2 第六章 定积分及其应用 4.如何计算定积分和应用定积分? 前一章讨论了已知一个函数的导数, 如何求原来的函数, 这样一个积分学的基本问题——不定积分. 这一章将讨论积分学的另一个基本问题——定积分. 1.什么是定积分? 2.定积分有哪些性质? 3.定积分与不定积分有何关系? 本章的主要问题有: 1 0 cos ? xdx =
§6.1定积分的概念 上 引例(曲边梯形的面积 定义1.在直角坐标系中,由一条连续曲线 =/(x)和三条直线x=a、x=b=0(x轴 y=f(x 所围成的图形,称为曲边梯形,如右图 B Aabba(与直边梯形AabB的区别) X=a b 问题: 0 b y=f(x)≥0时,曲边梯形AabB的面积怎么求呢?中 学里会求直边多边形(特别是矩形)的面积,下面利用矩形的 面积来求曲边梯形AabB的面积
3 一.引例(曲边梯形的面积) 定义1. 在直角坐标系中,由一条连续曲线 y=ƒ(x)和三条直线x = a、 x = b和y = 0 (x轴) 所围成的图形, 称为曲边梯形, 如右图 AabBA (与直边梯形AabB的区别) . o x y y=0 y=ƒ(x) x=a x=b a b A B §6.1 定积分的概念 当y = ƒ(x) 0 时, 曲边梯形AabB的面积怎么求呢? 中 学里会求直边多边形(特别是矩形)的面积, 下面利用矩形的 面积来求曲边梯形AabB的面积. 问题:
分析:问题的难度在于曲边梯形4abB的高对整个区间{ab 来说是一个变量,其最大值与最小值之差较大但从区间 a,b]的一个局部(小区间)来看,它也是一个变量 但因f(x)连续,从而当△x→0时,4y→0,y 故可将此区间的高近似看为一个常量, f(x) B y{4 从而此区间对应的小窄曲边梯形CEFH 的面积近似等于小窄矩形DEFH的面积 F Xx+△xbx 因而,如果把区间a,b任意地划分为n个小区间,并 在每一个区间上任取一点,再以该点的高来近似代替该小 区间上窄曲边梯形的高,从而每个窄曲边梯形就可近似地
4 从而此区间对应的小窄曲边梯形CEFH 的面积近似等于小窄矩形DEFH的面积. o x y y=ƒ(x) a b A B x x+Δx H C D E F Δy { 因而, 如果把区间[a, b]任意地划分为n个小区间, 并 在每一个区间上任取一点, 再以该点的高来近似代替该小 区间上窄曲边梯形的高, 从而每个窄曲边梯形就可近似地 分析:问题的难度在于曲边梯形AabB的高对整个区间[a, b] 来说是一个变量, 其最大值与最小值之差较大; 但从区间 [a, b]的一个局部(小区间)来看, 它也是一个变量; 但因ƒ(x)连续, 从而当Δ x →0时, Δy→0, 故可将此区间的高近似看为一个常量
视为一个小窄矩形,而且全部窄矩形的面积之和也可作 为曲边梯形面积的近似值 要想得精确值,只需区间[a,b的分法无限细密(即每 个小区间的长度△x→>0)时,全部窄矩形的面积之和的极限 定是曲边梯形面积的精确值 从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积 I化整为零(或分割)—任意划分 (如右图)用分点 y=f(x, x=b 将区间[a,b]任意地划分为n个小区间 b oa=xo x, x
5 视为一个小窄矩形, 而且全部窄矩形的面积之和也可作 为曲边梯形面积的近似值. 要想得精确值, 只需区间[a, b]的分法无限细密(即每 个小区间的长度Δ x →0)时, 全部窄矩形的面积之和的极限 一定是曲边梯形面积的精确值. 从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积: I.化整为零(或分割)——任意划分 (如右图)用分点 0 1 2 1 n n a x x x x x b = = − o x y y=ƒ(x) 0 a x = 1 x 2 x i 1 x − i x n x b = n 1 x − i x 将区间[a,b]任意地划分为n个小区间 0 1 1 2 1 [ , ],[ , ], ,[ , ], n n x x x x x x −