§3.6函数的微分 讨论导数,即讨论imA的极限是否存在,而不 是研究改变量本身.实践中,我们关心的是:当 自变量x有微小改变量Ax时,函数y相应的改变量 Ay与Ax有何关系,大小又如何? 先看一个实际例子:正方形的边长由x变到x+Ax 时,其面积改变多少?由S=x2知: △S=S(x+△x)-S(x)=(x+△x)2-x2=2x△x+(△x)2
1 讨论导数, 即讨论 的极限是否存在, 而不 是研究改变量本身. 实践中, 我们关心的是: 当 自变量 x 有微小改变量Δx 时, 函数 y 相应的改变量 Δy 与 Δx 有何关系, 大小又如何？ 0 lim x y → x §3.6 函数的微分 先看一个实际例子: 正方形的边长由 x 变到 x+Δx 时, 其面积改变多少？由 S = x2 知: 2 2 2 = + − = + − = + S S x x S x x x x x x x ( ) ( ) ( ) 2 ( )
显然AS分成两部分:2x和(4x)2而2x4x是Ax的 线性函数,(4x)2是当Ax→>0时比Ax高阶的无穷小 即(x)2=0(x). 由此可见:当Ax→0时,(4x2比2Ax小得多几 乎可忽略不计;从而用2xAx近似代替AS几乎可 忽略不计;从而用2c4x近似代替AS并且把2xx叫 做正方形面积S=x2的微分 X△x
2 x 2 S x = xΔx } Δx 2 x 显然ΔS分成两部分: 2xΔx和(Δx)2 . 而 2xΔx 是Δx 的 线性函数, (Δx)2 是当 Δx→0 时比 Δx 高阶的无穷小, 即 (Δx)2 = o(Δx). 由此可见: 当 Δx→0 时, (Δx)2 比 2xΔx 小得多,几 乎可忽略不计; 从而用 2xΔx 近似代替ΔS.几乎可 忽略不计; 从而用 2xΔx 近似代替ΔS.并且把2xΔx 叫 做正方形面积 S = x2 的微分. xΔx
微分的概念 定义7设函数y=(x)在x的某邻域内有定义,且当自 变量有增量Ax时,如果函数的增量4可表为 Ay=AAx +o(4x) 其中A是不依赖于4x的常数.则称∫(x)在点x处可 微;称△y的线性(当A≠0时称为线性主要)部分AAx为 函数y=f(x)在点x的微分.记为 dy=df=Adx 问题:y=f(x)在什么条件下才可微呢?A与f(x)有何关 系呢? 定理6.函数y=f(x)在点x处可微的充要条件是y=f(x) 在点x处可导,且A=f(x,从而有小y=f(x)x
3 其中 A 是不依赖于Δx 的常数. 则称 ƒ(x) 在点 x 处可 微;称Δy的线性(当 A ≠ 0 时称为线性主要)部分 AΔx 为 函数 y = ƒ(x) 在点x处的微分. 记为 定理6. 函数 y = ƒ(x)在点 x 处可微的充要条件是 y = ƒ(x) 在点 x 处可导, 且 A = f′(x), 从而有 dy = f′(x)Δx 定义7.设函数 y =ƒ(x) 在 x 的某邻域内有定义, 且当自 变量有增量 Δx 时, 如果函数的增量 Δy 可表为 Δy = AΔx + o(Δx) d y = dƒ = AΔx 问题 : y = ƒ(x)在什么条件下才可微呢？A与ƒ(x)有何关 系呢？ 一.微分的概念
证"→"∵y=f(x)在点x可微4y=AAx+o(△) △x(△x) △ f(x=lim y A的=f(x)△x △v ∈=n:r(x)=limA有lmA-r(x)=0 △x→>0△x △r→>0 △ ∫(x)是一个关于△x的无穷小量 △ △ 设-f(x)=6(△x)(△x→0,B(△x)->0) 则=∫(x)△x+B(x)△x=f(x)△x+0(△x) y=∫(x)在x处可微 结论Ⅰ函数的可微性与可导性等价.即可微必可导, 可导必可微
4 证 " " ( ) =y f x x 在点 可微 = + y A x o x ( ) y o x ( ) A x x = + 0 ( ) lim x y f x A → x = = dy f x x = ( ) 0 " " ( ) lim x y f x → x = ( ) y f x x x − 是一个关于 的无穷小量 0 lim[ ( )] 0 x y f x → x − = 有 ( ) ( ) ( 0, ( ) 0) y f x x x x x − = → → 设 =y f x x ( ) 在 处可微. 则 ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + y f x x x x f x x o x 结论1 函数的可微性与可导性等价. 即可微必可导, 可导必可微
结论2若y=f(x)=x,则=t=∫(x)△x=(x)△x=△x 从而y=f(x)的微分又可记为=f(x)k→=f(x) 因而导数也称为微商. 结论3求函数的微分,可先求出函数的导数,再乘 以dx便可得函数的微分求导数与求微分的方法都叫 做微分法 例19.求函数y=3 rotan x (1)在x处的微分;(2)4x=0.01时的微分 (3)当x由2变到20时的微分 3 3dx 解(1)∵y 1+x 小y 1+x 3dx 2)d 0.03 △r=0.01 1+x △v=0.01 1+x
5 结论2 若 y =ƒ(x) = x, 则 dy dx f x x x x x = = = = ( ) ( ) ( ) ( ). dy dy f x dx f x dx = = 结论3 求函数的微分, 可先求出函数的导数, 再乘 以dx便可得函数的微分.求导数与求微分的方法都叫 做微分法. 从而 y =ƒ(x) 的微分又可记为 因而导数也称为微商. 例19. 求函数 y = 3arctan x (1) 在 x 处的微分; (2) Δ x = 0.01时的微分; (3) 当 x 由 2 变到 2.01 时的微分. 2 3 (1) 1 y x = + 0.01 0.01 2 2 3 0.03 (2) 1 1 x x dx dy x x = = = = + + 解 2 3 1 dx dy x = +