对一元函数而言,只要在x的左、右极限存在且相等,那么函数 在x处的极限就存在。而对多元函数来说,根据极限存在的定义,则 要求当x以任何方式趋于xn时,函数值都趋于同一个极限。若自变量 沿不同的两条曲线趋于某一定点时,函数的极限不同或不存在,那么 这个函数在该点的极限一定不存在
对一元函数而言，只要在 0 x 的左、右极限存在且相等，那么函数 在 0 x 处的极限就存在。而对多元函数来说，根据极限存在的定义，则 要求当 x以任何方式趋于 0 x 时，函数值都趋于同一个极限。若自变量 沿不同的两条曲线趋于某一定点时，函数的极限不同或不存在，那么 这个函数在该点的极限一定不存在
对一元函数而言,只要在x的左、右极限存在且相等,那么函数 在x处的极限就存在。而对多元函数来说,根据极限存在的定义,则 要求当x以任何方式趋于xn时,函数值都趋于同一个极限。若自变量 沿不同的两条曲线趋于某一定点时,函数的极限不同或不存在,那么 这个函数在该点的极限一定不存在 例1112.3设f(x,y)=,,(x,y)≠(00 x-+ 当点x=(x,y)沿x轴和y轴趋于(00)时,f(x,y)的极限都是0。但 当点x=(x,y)沿直线y=mx趋于(0.0)时 lim f(, y)=lim +m2x21+m 对于不同的m有不同的极限值。这说明f(x,y)在点(00)的极限不存在
例 11.2.3 设 ( , ) , ( , ) (0,0) 2 2 + = x y x y x y f x y 。 当点 x = (x, y)沿 x 轴和 y 轴趋于(0,0) 时，f (x, y)的极限都是 0。但 当点 x = (x, y)沿直线 y = mx趋于(0,0) 时， 2 2 2 2 2 0 0 1 lim ( , ) lim m m x m x mx f x y x y mx x + = + = → = → ， 对于不同的m有不同的极限值。这说明 f (x, y)在点(0,0) 的极限不存在。 对一元函数而言，只要在 0 x 的左、右极限存在且相等，那么函数 在 0 x 处的极限就存在。而对多元函数来说，根据极限存在的定义，则 要求当 x以任何方式趋于 0 x 时，函数值都趋于同一个极限。若自变量 沿不同的两条曲线趋于某一定点时，函数的极限不同或不存在，那么 这个函数在该点的极限一定不存在
下例说明即使点x沿任意直线趋于x0时,f(x,y)的极限都存在且 相等,仍无法保证函数∫在x处有极限。 例11.2.4设f(x,y) 2,(x,y)≠(0,0) y+x 当点x=(x,y)沿直线y=mx趋于(00)时,成立 nx-X lim f(, y)=lim x→>0nx+x 当点x=(x,y)沿y轴趋于(0,0)时,也成立mnf(x,y)=1,因此当点x=(x,y) 沿任何直线趋于(00)时,f(x,y)极限存在且相等。 但f(x,y)在点(00)的极限不存在。事实上,f在抛物线y2=x上的 值为0,因此当点x=(x,y)沿这条抛物线趋于(00)时,它的极限为0
下例说明即使点 x 沿任意直线趋于 0 x 时， f (x, y)的极限都存在且 相等，仍无法保证函数 f 在 0 x 处有极限。 例 11.2.4 设 , ( , ) (0,0) ( ) ( , ) 4 2 2 2 + − = x y y x y x f x y 。 当点 x = (x, y)沿直线 y = mx趋于(0,0) 时, 成立1 ( ) lim ( , ) lim 4 4 2 2 2 2 0 0 = + − = → = → m x x m x x f x y x y mx x ； 当点 x = (x, y)沿 y 轴趋于(0,0) 时，也成立lim ( , ) 1 0 0 = = → f x y x y ，因此当点 x = (x, y) 沿任何直线趋于(0,0) 时， f (x, y)极限存在且相等。 但 f (x, y)在点(0,0) 的极限不存在。事实上， f 在抛物线 y = x 2 上的 值为 0，因此当点 x = (x, y)沿这条抛物线趋于(0,0) 时，它的极限为 0
元函数的极限性质,如唯一性、局部有界性、局部保序性、 局部夹逼性及极限的四则运算法则,对二元函数依然成立,这里不 再细述,请读者自行加以证明
一元函数的极限性质，如唯一性、局部有界性、局部保序性、 局部夹逼性及极限的四则运算法则，对二元函数依然成立，这里不 再细述，请读者自行加以证明
元函数的极限性质,如唯一性、局部有界性、局部保序性、 局部夹逼性及极限的四则运算法则,对二元函数依然成立,这里不 再细述,请读者自行加以证明 累次极限 对重极限mf(x,y)(即mnf(x,y),人们很自然会想到的是, (x,y)(x,y) 能否在一定条件下将重极限(x,y)→(x,y)分解成为两个独立的极限 x→x和y→y’再利用一元函数的极限理论和方法逐个处理之? 这后一种极限称为累次极限
累次极限 对重极限 lim ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 f x y x y → x y （即 lim ( , ) 0 0 f x y y y x x → → ），人们很自然会想到的是， 能否在一定条件下将重极限(x, y) ( , ) 0 0 → x y 分解成为两个独立的极限 0 x → x 和 0 y → y ，再利用一元函数的极限理论和方法逐个处理之？ 这后一种极限称为累次极限。 一元函数的极限性质，如唯一性、局部有界性、局部保序性、 局部夹逼性及极限的四则运算法则，对二元函数依然成立，这里不 再细述，请读者自行加以证明