陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第五章 二次型

主要内容：1.n元二次型1)二次型的定义表示2)二次型的双重和符号表示 (X)=≥≥ajx;x,i=l j=l3）二次型的矩阵表示fX）=XAXX =CY,|C|±02.非退化线性替换1）非退化线性替换将二次型仍化为二次型

2.非退化线性替换 1.n元二次型 主要内容： 1) 二次型的定义表示 2) 二次型的双重和符号表示 3) 二次型的矩阵表示 ' 1 1 ( ) n n ij i j i j f X a x x     ' ' f X X AX ( )  X CY C   ， 0 1) 非退化线性替换将二次型仍化为二次型

三、矩阵的合同1.数域P上n×n矩阵A与B称为合同的，如果有数域P上可逆的n×n矩阵C，使B=C'AC2.合同矩阵的性质: A=EAE1)反身性：2)对称性： B=C'AC,IC}±0 = A=(C-1)B(C-1)3)传递性: B=C1AC1,D=C2BC2,lCi±0,IC2|± 0= D = C'2(C'1ACi)C2 = (CiC2) A(CiC2)ICiC2 |=|C1ll C2|± 0,即C,C,可逆

三、矩阵的合同 2.合同矩阵的性质 2)对称性： 3)传递性: 即C1C2可逆. 1)反身性: A E AE   B C AC C    ,| | 0 1 1 A C B C ( ) ( )      B C AC D C BC C C       1 1 2 2 1 2 , ,| | 0,| | 0   D C C AC C   2 1 1 2 ( )  ( ) ( ) C C A C C 1 2 1 2  | | | || | 0, C C C C 1 2 1 2   1.数域P 上n n矩阵 A与B 称为合同的，如果有 数域P上可逆的n n矩阵C ，使B  CAC

X=CY(CY)'A(CY)f(X1,X2...x,) = X'AXC± 0= Y'(C'AC)Y 含B=CACY'BY = g(yi,y2.... y'n)

令B C AC   ———— ———— 1 2 ( , ,., ) n f x x x X AX    Y C AC Y   ( ) ( ) ( ) CY A CY  1 2 ( , ,., ) Y BY g y y yn   ———— ———— | | 0 C  X CY 

2）合同矩阵具有相同的秩B=CAC, C可逆 =→秩(B)=秩(A)3）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵A'=A,B=C'AC, C可逆 B'=(CAC)'=CA'C =CAC = B3.经过非退化线性替换，新二次型矩阵与原二次型矩阵是合同的

3）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵. 2）合同矩阵具有相同的秩. 3. 经过非退化线性替换，新二次型矩阵与 B C AC   , C可逆   秩( ) ( ) B A 秩 A A B C AC C     , , 可逆      B C AC C A C C AC B       ( ) 原二次型矩阵是合同的

X =CYf(xi,X2....x,) = X'AX(CY)A(CY)IC± 0= Y'(C'AC)Y B=CAC Y"BY = g(y1,J2...y.)又 B'=(C'AC)'=C'A'C =CAC = B

令B C AC   ———— ———— ———— ———— | | 0 C  X CY  1 2 ( , ,., ) n f x x x X AX   又 B C AC C A C C AC B           ( )  Y C AC Y   ( ) ( ) ( ) CY A CY  1 2 ( , ,., ) Y BY g y y yn  