$ 9. 1定义与基本性质一、内积、欧氏空间二、内积的基本性质三、 向量的夹角四、度量矩阵及其性质
一、内积、欧氏空间 §9.1 定义与基本性质 二、内积的基本性质 三、向量的夹角 四、度量矩阵及其性质
知识点回顾：1.在几何空间R?.R3中，向量的长度，夹角等度量性质都可以通过内积反映出来：长度： [α|= (α,α)(α,β)α±0,β±0夹角：<α,β>=arccosα ll β |（问题驱动）在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法和数量乘法，统称为线性运算，但能体现出向量的度量的性质，如长度、夹角等没有涉及.为此，本章在实数域上的线性空间中引入度量，使线性空间以及与之相应的线性变换理论均得以提升
知识点回顾： 1. 在几何空间 2 3 R ,R 中，向量的长度，夹角等度量性质都可以 通过内积反映出来： 长度： , 夹角: ( , ) , arccos , 0, 0. | || | 2.(问题驱动)在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法和 数量乘法，统称为线性运算，但能体现出向量的度量的性质， 如长度、夹角等没有涉及.为此,本章在实数域上的线性空间中 引入度量,使线性空间以及与之相应的线性变换理论均得以提升
一、内积、欧氏空间1．内积设V是实数域R上的线性空间，对V中任意两个向量α、β,定义一个二元实函数，记作（α,β），若满足性质:Vα,β,V,VkeR1° (α,β)=(β,α)(对称性）(数乘)2° (kα,β) = k(α,β)3° (α+β,)=(α,)+(β,)(可加性)4° (α,α)≥0,当且仅当α=0时(α,α)=0.（正定性）
满足性质： , , , V k R 1 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) k k 3 ( , ) , ( , ) 4 ( , ) 0, 当且仅当 0 时 ( , ) 0. 一、内积、欧氏空间 1. 内积 设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量 、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , ) ,若 （对称性） （数乘） （可加性） （正定性）
则称(α,β)为α和 β 的内积。2.定义了内积的实数域R上的线性空间V为欧氏空间。欧氏空间V是特殊的线性空间，表现在：注：①V为实数域R上的线性空间；V除向量的线性运算外，还有“内积”运算；
① V为实数域 R上的线性空间; ② V除向量的线性运算外，还有“内积”运算; 欧氏空间 V是特殊的线性空间, 表现在： 则称 ( , ) 为 和 的内积。 2.定义了内积的实数域 R上的线性空间V为欧 氏空间. 注:
例1．在Rn 中，对于向量α=(a,a2,..,an), β=(bi,b2,..,bn)(1)1) 定义 (α,β)=a,b, +a,b, +..+anb易证(α,β)满足定义中的性质 1~ 4°所以，(α,β)为内积这样 Rn对于内积（α,β)就成为一个欧氏空间
例1．在 R n 中，对于向量 a a a b b b 1 2 1 2 , , , , , , , n n 这样 对于内积 就成为一个欧氏空间. n R ( , ) 易证 ( , ) 满足定义中的性质 1 4 ～ . 1）定义 1 1 2 2 ( , ) n n a b a b a b （1） 所以, ( , ) 为内积