陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第七章 线性变换

$ 7. 1线性变换的定义一、线性变换的定义二、线性变换的简单性质三、有关例子

一、线性变换的定义 二、线性变换的简单性质 §7.1 线性变换的定义 三、有关例子

线性变换的定义设V为数域P上的线性空间，若变换:V→V满足: Vα,βeV,kEPα(α+β)=α(α)+α(β)α(kα) = ka(α)则称为线性空间V上的线性变换

一、 线性变换的定义 设V为数域P上的线性空间，若变换  :V V  满足：     , , V k P     k k     则称  为线性空间V上的线性变换.                

注：几个特殊线性变换单位变换(恒等变换)：E:V→V，αα，VαEV0:V→V, αH>0, VαeV零变换：（由数k决定的数乘变换：K:V→V，α>kα，αV事实上,Vα,βeV,VmEP,K(α+β)= k(α+β)=kα+kβ=K(α)+K(β)K(mα) = kmα = mkα = mK(α)

注：几个特殊线性变换 由数k决定的数乘变换： K V V k V : , ,       事实上，      , , , V m P K k k k K K                 ( ) ,     K m km mk mK           . 单位变换(恒等变换)： E V V V : , ,       零变换： 0 : , 0, V V V     

例1.V=R2(实数域上二维向量空间)，把V中每一向量绕坐标原点旋转A角，就是一个线性变换用T。表示，即()一()T。: R?→ R2,(cn8 0)()(3)-(这里，sin cos易验证:Vα,βR2,VkeRT.(α+β)=T(α)+ T.(β)T.(kα) = kT(α)

例1. V R  2 (实数域上二维向量空间)，把V中每 一向量绕坐标原点旋转  角，就是一个线性变换， 用 T 表示，即     2 2 : , x x T R R y y     这里， 易验证： T T T                 T k kT          2      , , R k R      cos sin sin cos x x y y        

例2.V=P[x|或P[xl,上的求微商是一个 线性变换用D表示，即D:V→V, D(f(x))= f'(x), Vf(x)eV例3．闭区间[a,b]上的全体连续函数构成的线性空间C(a,b)上的变换J :C(a,b)→C(a,b), J(f(x)= f(t)dt是一个线性变换

例2． V P x P x  [ ] [ ] 或 n 上的求微商是一个 线性变换， 用D表示，即 D V V D f x f x f x V : , ( ( )) ( ), ( )      例3. 闭区间 [ , ] a b 上的全体连续函数构成的线性空间 : , , ,          x a J C a b C a b J f x f t dt    是一个线性变换. C a b  ,  上的变换