数域$ 1. 1一、数域二、数域的有关性质
一、数域 二、数域的有关性质
一、数域定义设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域常见数域：复数域C；实数域R；有理数域Q；（注意：自然数集N及整数集Z都不是数域：）
一、数域 设P是由一些复数组成的集合，其中包括 数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域． 0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除 常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q； （注意：自然数集N及整数集Z都不是数域．） 定义
例1.证明：数集 Q(V2)={a+b/2la,bQ是一个数域证：： 0=0+0/2,1=1+0~2,： 0,1eQ(V2)又对 Vx, y E Q(/2),，设x=a+b/2,y=c+d/2a,b,c,d E Q, 则有x± y=(a±c)+(b±d)/2 =Q(V2)x · y = (ac + 2bd)+(ad + bc)/2 = Q(~/2)设 a+b~0，于是α-bv2也不为0
是一个数域． 例1．证明：数集 Q a b a b Q ( 2) 2 | , 证： 0 0 0 2, 1 1 0 2, 又对 x y Q , ( 2), 设 x a b y c d 2, 2, 则有 x y ac bd ad bc Q ( 2 ) ( ) 2 ( 2) 0,1 ( 2) Q a b c d Q , , , , x y a c b d Q ( ) ( ) 2 ( 2), 设 a b 2 0, 于是 a b 2 也不为0．
(否则，若 -b/2=0，则a=b/2"= ~2eQ,于是有b或 =0,b=0→+b/2=0.矛盾)c+d/z((c + d /2)(a - b/2)a+b/2(a + b/2)(a -b/2)ac-2bdad -bc2Q.2 - 262a?-2b22a故Q(/2）为数域类似可证 Q(i)={a+bila,bQ,i= /-1}是数域
或 a b 0, 0 矛盾） （否则，若 a b 2 0, 则 a b 2, 2 , a Q b 于是有 a b 2 0. 2 ( 2)( 2) 2 ( 2)( 2) c d c d a b a b a b a b 2 2 2 2 2 2 . 2 2 ac bd ad bc Q a b a b 故Q( 2) 为数域． 类似可证 Q i a bi a b Q i ( ) , , 1 是数域
例2：设P是至少含两个数的数集，证明：若P中任意两个数的差与商（除数丰0）仍属于P，则P为一一个数域证：由题设任取 a,beP，有b0=a-aeP, 1=a-beP, P(b 0),baE P(b +0),a+b=a-(0-b)EPbb≠0 时，ab=lEP，b=0 时, ab=0EPb所以，P是一个数域
例2．设P是至少含两个数的数集，证明：若P中任 意两个数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一 一个数域． 证：由题设任取 a b P , , 有 0 , a a P 1 ( 0), b P b b a b a b P (0 ) , a b P , ( 0), a P b b 所以，P是一个数域． 1 1 0 , b b ab P 时, b ab P 0 0 . 时