陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第五章 二次型

主要内容：1.1n元二次型1)二次型的定义表示2)二次型的双重和符号表示 (X)=agx,x,i=l j=l3)二次型的矩阵表示f(X）=XAX

1. n元二次型 主要内容： 1) 二次型的定义表示 2) 二次型的双重和符号表示 3) 二次型的矩阵表示 ' 1 1 ( ) n n ij i j i j f X a x x     ' ' f X X AX ( ) 

解析几何中f(x,y)= Ax + Bxy +Cyx=x coso-y sino选择适当的角度6，逆时针旋转坐标轴y=xsino+ycosog=ax?+by

解析几何中 ' ' ' ' cos sin sin cos x x y y x y            ' '2 ' '2 g a x b y   2 2 f x y Ax Bxy Cy ( , )    选择适当的角度 ， 逆时针旋转坐标轴

二、非退化线性替换1.设 Xj,X2,"",Xni1,J2,",Jn是两组文字,C, EP,i,j=1,2,...n ，关系式X, = Cuyi +Ci2y2 + ...+ Ciny'nX, = Ci1Ji +C12y2 +... +Ciny'n(4)[X, =CnJ++Cn2J2 +...+CnnJ'n称为由xi,x2,,x到y,y2,y的一个线性替换

二、非退化线性替换 1. 设 是两组文字, ，关系式 （4） 1 2 1 2 , , , ; , , , n n x x x y y y 1 11 1 12 2 1 2 11 1 12 2 1 1 1 2 2 n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y                  , , 1,2,. ij c P i j n   称为由 1 2 , , , n x x x 到 1 2 , , , n y y y 的一个线性替换

2线性替换的矩阵表示VV11XyC2111yCXnnlhnn(5)X=CY则（4）可表示为：若ICl≠0（或C为可逆矩阵），则(5)为非退化线性替换

2 线性替换的矩阵表示 则(4)可表示为： X=CY (5) 若|C| ≠0（或C为可逆矩阵），则(5)为非退化 线性替换. 1 1 11 12 1 2 2 21 22 2 1 2 . . , , . n n n n n n nn x y c c c x y c c c X Y C x y c c c                                  令

3.二次型经过非退化线性替换仍为二次型X=CYf(xi,X2...x,)=X'AX(CY)A(CY)IC0V令B=C'ACY'BY = g(yi,y2...yn)= Y'(C'AC)Y又 B'=(C'AC)'=C'A'C=CAC= B即B为对称矩阵

即B为对称矩阵. 3. 二次型经过非退化线性替换仍为二次型 令B C AC   ———— ———— ———— ———— | | 0 C  X CY  1 2 ( , ,., ) n f x x x X AX   又 B C AC C A C C AC B           ( )  Y C AC Y   ( ) ( ) ( ) CY A CY  1 2 ( , ,., ) Y BY g y y yn  