第六章纟线性空间
第六章 线性空间
s 6.2 线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义例子二、三、简单性质
一、线性空间的定义 二、例子 三、简单性质
在第三章S2中，我们讨论了数域P上的n维向量空间(pn, +,.)(ai,az,..",an)+(b,b,,...,bn) =(a, +b,a, +b2,...,a, +bn)k(ar,az,"",an) =(ka,kaz,...,ka,), k e P而且这两种运算满足如下运算规律：α+β=β+α1α = α(α+β)+=α+(β+)k(lα) = (kl)αα+0=α(k+l)α = kα+lαα+(-α)= 0k(α+β)=kα+kβVα,β,yep", Vk,leP
1 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) n n n n a a a b b b a b a b a b 1 2 1 2 ( , , , , ) ( , , ), n n k a a a ka ka ka k P 而且这两种运算满足如下运算规律： 在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维向量空间 0 ( ) ( ) ( ) 0 1 k l kl ( ) ( ) ( ) k l k l k k k ( ) , , , , n P k l Pn （（PP n ,+, ,+,）） n （P ,+,）
数域P上的一元多项式环（P[x]，+，·）满足下面这些重要的运算规律：f(x)+g(x) = g(x)+ f(x)(f(x)+ g(x)+ h(x) = f(x)+(g(x)+h(x)f(x)+0= f(x)f(x)+(-f(x)= 01f(x)= f(x)k()f(x) =(kl)f(x)Vf(x),g(x),h(x) E P[xl(k+l)f(x) = kf(x)+lf(x)Vk,le Pk(f(x)+ g(x)) = kf(x)+kg(x)
这些重要的运算规律 ： ( ), ( ), ( ) [ ], , f x g x h x P x k l P f x g x g x f x ( ) ( ) ( ) ( ) 数域 P上的一元多项式环 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) f x g x h x f x g x h x k l f x kl f x ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) f x f x f x f x ( ) ( ( )) 0 f x f x ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k l f x kf x lf x k f x g x kf x kg x ( ( ) ( )) ( ) ( ) （ P x [ ] , , ） 满足下面
一、线性空间的定义设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中定义了一种代数运算，叫做加法，即，Vα,βEV在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称 为α与β的和，记为=α+β；在与V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法：即VαV,VkEP在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为k与α的数量乘积,记为S=kα,如果加法和数量乘法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间
一、线性空间的定义 设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中 定义了一种代数运算，叫做加法，即， , V 在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为 与 的和，记为 ；在P与V的元素之间还 定义了一种运算，叫做数量乘法：即 V k P , , 在V中都存在唯一的一个元素δ 与它们对应，称δ 为 k与 的数量乘积,记为 k . 如果加法和数量乘 法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：