陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第五章 二次型

f(x,X2,"",xn)= x(ax) +ai2x2 +...+ainxn)+x(a2x, +a22x+...+a2nxn)++x,anx +anx2 +...+annxnax +a2x2 +...+aia21X, +a22X2 +...+a2nXn=(xi X2 ... xn.·.aniX +an2X2 +...+anxnnn

  1 2 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n n n n n n nn n n n n n n n n nn n f x x x x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x                                    （ ） （ ） （ ）

f(xi,x2,..,xn)+ax+.+aau-11a2ix + a2X, +...+a2nXn(x)X2..anX, +an2X2 +.aXnn(3)aa12x0a22X2(21a2n=(x) x2 ....aan2xanlnnn

（3）     1 2 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 2 1 1 2 2 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n n n n n n n nn n n n n n n nn n f x x x a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x a a a x a a a x x x x a a a x                                         

f(x,x2,..,xn)xala12d11X2(2)42n(x X2...xaman2ann2aua2anY2)a22a2nX2，则.Xna.an2a.nlnnf(X)=X'AX，且A=A，可以证明A唯一型f(xi,2",x）的矩阵矩阵A称为二次型

11 12 1 21 22 2 1 2 . . . 令 nn n n nn a a a a a a A a a a        12 , n xx X x              1 2 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) n nn n n n nn n f x x x a a a x a a a x x x x a a a x                          , 则 ' ' f X X ( )  AX ，且 ' A A  ，可以证明 A 唯一. 矩阵 A 称为二次型 1 2 ( , , , )n f x x x 的矩阵

注：1）二次型的矩阵总是对称矩阵，即A=A2)二次型与它的矩阵总是相互唯一决定3）XAX一定表示一个二次型；即使A不为对称阵，但XAX仍是一个二次型，只不过这个二次型的矩阵不是A.例如，令A=则2xx, +3x =f(x,x2)X+而f(x,x2)的矩阵为

例如，令 1 2 0 3 A        ，则 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 0 3 3 ( ) x x x ,x x ,x x x x +2x x x x ,x A f                       令 （ ） （ ） 而 1 2 f ( ) x ,x 的矩阵为 1 1 1 3       注:1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即 ' A A  . 2)二次型与它的矩阵总是相互唯一决定. 3) ' X AX 一定表示一个二次型；即使 A不为对称阵，但 ' X AX 仍是 一个二次型，只不过这个二次型的矩阵不是 A

f = ax2 +2bxy + cy?例11）实数域R上的2元二次型2）实数域R上的3元二次型f(x1,X2,X3) = 2x + 4xiX2 +6xix +5x2 +3x2X +7x33）复数域C上的4元二次型f(x1,X2,xg,x) = ixx, + /3xx4 +5x) +(3+i)x2x3它们的矩阵分别是：30202232053+i/2(4),n3%22 55303+i/0012(3%7V3/00012

例1 1）实数域R上的2元二次型 3）复数域C上的4元二次型 它们的矩阵分别是： 2）实数域 R上的3元二次型 2 2 f ax bxy cy    2 2 2 2 , ) 1 2 3 1 1 2 1 3 2 2 3 3 f x x x x x x x x x x x x ( , 2 4 6 5 3 7       2 ) 1 2 3 4 1 2 1 4 2 2 3 f x x x x ix x x x x i x x ( , , , 3 5 (3 )       , a b b c 3 2 3 2 2 2 3 2 5 , 3 7         3 2 2 3 2 2 3 2 3 2 0 0 5 0 . 0 0 0 0 0 0 i i i i            