综合题 1.图示结构均用Q235钢制成,弹性模量E=200GPa,屈服极限σ,=235MPa, 强度安全因数n=1.5,l=1200mm。在梁端B正上方有一重量为P=5kN的 物体,自高度h=5mmn处自由下落。已知梁AB为工字钢,截面惯性矩 Ⅰ.=1.13×10 ,弯曲截面系数W.=141×10°mm3;杆CD为大柔度杆, 横截面直径D=40mm,稳定安全因数n,=3。试校核该结构是否安全。 解:变形协调5PP3/6E)-FNP3A(3E2)=FNl(EA FN=12.27 kN δ=(16P-5F)3(6E1)=2.376mm P=P1+(1+2h/δ)2]=1641kN FNd=FN[+(1+2h/o)]=40.27kN 1969kN.m am=M/W2=1396MPa<235/15=157MPa [F]=2EI(n212)=5742kN>Fka 结构安全。 2.图示重物P=100N自梁AB正上方高h=200mm处自由下落于梁AB的中点 C处。已知l=5m,梁AB为工字钢No20a,查表知其横截面惯性矩 Ⅰ=2370cm4,弯曲截面系数W=237cm3,材料弹性模量E=200MPa。试 求梁内的最大正应力(梁AB的自重不计)。 P l 解:变形协调bc= 2EI 壬 Pl M 8 62.5N Pl M M B 100×53 3EI 2El 192E192×210×100×2370×10-8=1.308×10-3m K4=1+(1+2h/x)2=17588 OMx=Mmx /W.=0.264 MPa admux=KdoCmux=46.4 MPa 3.图示重量为P的重物自高为h处自由下落冲击于薄壁圆环 顶点A,已知弯曲刚度EI为常数。试求点A的动位移。 解:先求静位移 将P作为静载荷加在点A,点B的约束力也为P。 163
163 综 合 题 1. 图示结构均用 Q235 钢制成，弹性模量 E = 200 GPa ，屈服极限 235 MPa s = ， 强度安全因数 ns = 1.5，l = 1 200 mm 。在梁端 B 正上方有一重量为 P = 5 kN 的 物体，自高度 h = 5 mm 处自由下落。已知梁 AB 为工字钢，截面惯性矩 7 4 I z =1.1310 mm ，弯曲截面系数 5 3 Wz =1.4110 mm ；杆 CD 为大柔度杆， 横截面直径 D = 40 mm ，稳定安全因数 nst = 3 。试校核该结构是否安全。 解：变形协调 5 /(6 ) /(3 ) /( ) N 3 N 3 Pl EIz − F l EIz = F l EA Nd 2 s t 2 cr max max max 1/ 2 Nd N s t 1/ 2 d s t 3 s t N N [ ] π /( ) 57.42 kN / 139.6 MPa 235/1.5 157 MPa 19.69 kN m [1 (1 2 / ) ] 40.27 kN [1 (1 2 / ) ] 16.41kN (16 5 ) /(6 ) 2.376 mm 12.27 kN F EI n l F M W M F F h P P h P F l EI F z z = = = = = = = + + = = + + = = − = = 结构安全。 2. 图示重物 P =100 N 自梁 AB 正上方高 h = 200mm 处自由下落于梁 AB 的中点 C 处。 已知 l = 5m ，梁 AB 为工 字钢 No.20a ，查 表知 其横 截面 惯性矩 4 I z = 2 370 cm ，弯曲截面系数 3 Wz = 237 cm ，材料弹性模量 E = 200MPa 。试 求梁内的最大正应力（梁 AB 的自重不计）。 解：变形协调 0 2 2 2 2 − = = EI l M EI P l C C 62.5 N m 8 = = Pl MC A C M B Pl M P l M = − = = 2 2 8 1.308 10 m 192 210 10 2 370 10 100 5 2 192 ) 2 ( 8 3 ) 2 ( 2 5 9 8 3 3 3 2 s t − − = = = = − EI Pl EI Pl l EI P l w 46.4 MPa / 0.264 MPa 1 (1 2 / ) 175.88 dmax d max max max 1/ 2 d st = = = = = + + = C C z K M W K h w 3. 图示重量为 P 的重物自高为 h 处自由下落冲击于薄壁圆环 顶点 A，已知弯曲刚度 EI 为常数。试求点 A 的动位移。 解：先求静位移。 将 P 作为静载荷加在点 A，点 B 的约束力也为 P。 P l l h l A C B D P h l/2 l/2 A C B z P h A R C B D
将截面A固定,从截面D截开如图 M()=x-PR M (1-cos ) =0,即 M(o)Rdo=0 得X=PR M=-PR(1-cosq)2+PR(1/2-1/)=-PR(1/x-cos/2) 点A静位移 8s=4PR [2(1/I-cos /2) do/(ED)=PR(/4-2/T)/(ED) 点A动位移:δa=6,1+(1+2h/δ。)12],将δ。值代入即得。 4.图示杆AC与弹簧相连,受到重量为P的重物自高h处自由下落的冲击。杆 AC长为l,横截面面积为A,材料弹性模量为E,弹簣刚度为kN/mm,在未受 冲击时弹簧不受力。试导出C处的最大动位移δm的计算公式。 解:平衡F4+FB=P FI/)=FB/k F=P/l+kI/(EA) 8s= FI/EA=P/EA/I+k) δ4=6[1+(1+2h/o1)2] 5.图示截面为b×h=75×25mm2的矩形铝合金简支梁,跨中点C增加一弹簧刚 度为k=18kN/m的弹簧。重量P=250N的重物自C正上方高h=50mm处自由 落下,如图a所示。若铝合金梁的弹性模量E=70GPa。试求: (1)冲击时,梁内的最大正应力 (2)若弹簧如图b所示放置,梁内最大正应力又为多大? P囗 解:δ=PP348ED)+P/k=00345m Pl/(4W)=24 MP 2h 2.97
164 将截面 A 固定，从截面 D 截开如图 (1 cos ), 1 2 ( ) = = − − X PR M M X 由 D = 0 ，即 = 2 π 0 ( ) d 0 1 R X M M EI 得 ) π 1 2 1 X = PR( − M = −PR(1− cos)/ 2 + PR(1/ 2 −1/π ) = −PR(1/ π − cos / 2) 点 A 静位移: = − 2 π 0 3 2 st 4PR (1/π cos / 2) d /(EI) (π / 4 2/π )/( ) 3 = PR − EI 点 A 动位移: [1 (1 2 / ) ] 1/ 2 dA = st + + h st ,将 st 值代入即得。 4. 图示杆 AC 与弹簧相连，受到重量为 P 的重物自高 h 处自由下落的冲击。杆 AC 长为 l ，横截面面积为 A，材料弹性模量为 E，弹簧刚度为 k N/mm，在未受 冲击时弹簧不受力。试导出 C 处的最大动位移 d max 的计算公式。 解：平衡 FA + FB = P [1 (1 2 / ) ] /( ) /( / ) /[1 /( )] /( ) / 1/ 2 d st st st h F l EA P EA l k F P kl EA F l EA F k A A A B = + + = = + = + = 5. 图示截面为 2 b h = 75 25 mm 的矩形铝合金简支梁，跨中点 C 增加一弹簧刚 度为 k =18kN/m 的弹簧。重量 P = 250 N 的重物自 C 正上方高 h = 50mm 处自由 落下，如图 a 所示。若铝合金梁的弹性模量 E = 70GPa 。试求： （1）冲击时，梁内的最大正应力。 （2）若弹簧如图 b 所示放置，梁内最大正应力又为多大？ 解： /(48 ) / 0.034 5m 3 st,a = Pl EI + P k = /(4 ) 24 MPa st,a = Pl W = 2.97 2 1 1 st,a da = + + = h K R A D X P/2 P FB FA h l A C P B k P 50 C A B (b) P 50 C A B 1.5 m (a) b h 1.5 m 1.5 m 1.5 m
d=297×24=714MPa 弹簧受压力F(静荷时) (P-F)3(48ED)=F/k,F=14N,P-F=101N Ost b=(P-Fk)7/(4)=9.70 MPa SL=F/k=8.28mm.KL=4.616 o=K-o =44 8 MPa 6.图示正方形框架,绕轴O-O以匀角速度o旋转,已知框 架各段横截面面积均为A,材料密度为ρ,试作框架弯矩图。 解:惯性力q=Aao2/2 61=2a(ED),41p=-qa3/12E) X,=-4,/6, 2/24 (M4)mx=qa2/12 10 g(r) gr) X a2/8 qa2/12 7.图示重量为P=2kN的重物,自高度h=10mm处自由下落冲击直径为d的圆 横截面杆组成的水平框架上的点C处。已知弯曲刚度EI=1336kNm2,a=1m, 切变模量G=04E(E为材料的弹性模量)。试求截面C的最大铅垂位移。 P M.a 解:c=EI P 2E/+(M 2 Gl 2 18 T,=M 2 3EI 2EI 3E/ Ga=a 4.158mm 18El
165 2.97 24 71.4 MPa da = = 弹簧受压力 Fk （静荷时） P F l EI F k k k ( ) /(48 ) / 3 − = , Fk =149 N , P − Fk =101 N ( ) /(4 ) 9.70 MPa st,b = P − Fk l W = st,b = Fk / k = 8.28 mm , Kd,b = 4.616 44.8 MPa db = Kd st = 6. 图示正方形框架，绕轴 O-O 以匀角速度 旋转，已知框 架各段横截面面积均为 A，材料密度为 ，试作框架弯矩图。 解：惯性力 / 2 2 q = Aa 2 /( ) 11 = a EI , /(12 ) 3 Δ1P = −qa EI / / 24 2 X1 = −Δ1P 11 = qa ( ) /12 2 Md max = qa 7. 图示重量为 P = 2 kN 的重物，自高度 h =10mm 处自由下落冲击直径为 d 的圆 横截面杆组成的水平框架上的点 C 处。已知弯曲刚度 2 EI = 133.6 kN m ，a =1m， 切变模量 G = 0.4E （E 为材料的弹性模量）。试求截面 C 的最大铅垂位移。 解： ) 0 2 ( 2 2 p 2 = − + − = GI Pa a M EI a P EI M a C C C MC Pa 18 7 = ( I 2I p = ) Pa Pa TBA MC 9 1 2 = − = − (顺) 4.158 mm 18 5 3 2 3 2 2 3 p 3 2 3 st, = − + − = = EI Pa a GI T a EI a P EI M a EI a P Δ C BA C C B A P/2 MC a a z A D a B C a O q A D B C q q A B X1 X1 1 1 1 qa2 /8 qa2 /24 qa2 /12 q(x) x q(x) x a x y z h P a C a B A E D O
K 2h/4)2=341 4c=4.158×34l=14.2mm 8图示A端固定、B端铰支的超静定梁,受高h=0.0处的重量为P的自由落体 冲击。试求 (1)动荷因数Ka; (2)若A端改为铰支(其他不变),动荷因数是变大 还是缩小? n2-12 P( 1X.13 解 =0.X=-P 3EI 2EI 2 3EI P()3X()3 3EI 3EI 2EⅠ 768EI B处约束力X=5P/16 C处静位移4a=7PF/(768ED K4=1+(1+2h/4n)2=1+[1+1536E(700P12)2 若A端改为简支,则A变大,K将变小。 9.图示结构,圆杆AB和刚性杆CD相互垂直地刚结于C,且在Ox平面内。B 为球铰,杆AB相对B端可转动。重量为P的重物自点D正上方高h处自由下落, 若材料的弹性模量E=200GPa,切变模量G=04E,l=1m,P=2kN, h=0.lm,圆杆AB直径d=50mm,试用第3强度理论(最大切应力理论)求 梁AB上危险点的相当应力σa 解:4 P/3 P1 F(2)=0 3EI 2EI 3EI FB P/FB/, FB//7P 3EI3EⅠ3EI96EI pc 0.043m=43m 96EI Gl +1=3.38 43 FB 27=Pl, T,=Pl 截面A oe=√(M2+7)/W=32(3P/82+(P)2y2(xd2)=174MPa (G13)4=K 588 MPa
166 4.158 3.41 14.2 mm 1 (1 2 / ) 3.41 d, 1/ 2 d st, = = = + + = C C Δ K h Δ 8. 图示 A 端固定、B 端铰支的超静定梁，受高 h = 0.01l 处的重量为 P 的自由落体 冲击。试求: (1) 动荷因数 Kd ； (2) 若 A 端改为铰支（其他不变），动荷因数是变大 还是缩小？ 解： 0 2 2 3 ) 2 ( 3 ) 2 ( 3 3 2 = = + − EI l X l EI l P EI l P wB , X P 16 5 = EI Pl EI l l X EI l X EI l P Δ wC 3 3 3 2 s t 768 7 ) 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( ( 3 ) 2 ( = = − + = B 处约束力 X = 5P/16 C 处静位移 7 /(768 ) 3 Δst = Pl EI 1/ 2 d st K = 1+ (1+ 2h /Δ ) 2 1/ 2 =1+[1+1536EI /(700Pl )] 若 A 端改为简支，则 Δst 变大， Kd 将变小。 9. 图示结构，圆杆 AB 和刚性杆 CD 相互垂直地刚结于 C，且在 Oxz 平面内。B 为球铰，杆 AB 相对 B 端可转动。重量为 P 的重物自点 D 正上方高 h 处自由下落， 若材料的弹性模量 E = 200GPa ，切变模量 G = 0.4E ， l =1m ， P = 2 kN ， h = 0.1m ，圆杆 AB 直径 d = 50mm ，试用第 3 强度理论（最大切应力理论）求 梁 AB 上危险点的相当应力 r3 。 解： 0 3 (2 ) 3 2 3 2 3 = + − = EI F l l EI Pl EI Pl Δ B B FB P 16 5 = EI Pl EI F l l EI F l EI Pl Δ B B C 96 7 ) 3 3 ( 3 3 3 2 3 = = − + 0.043m 43mm 96 7 p 3 3 = + = + = = GI Pl EI Pl Δ Δ l D C CA 1 3.38 43 2 100 1 2 d 1 1 + = = + + = + Δ D h K M Pl F l Pl A B 8 3 = − 2 = ,T Pl A = 截面 A (M T ) /W 2 2 r3 = + 32[(3 /8) ( ) ] /(π ) 2 2 1/ 2 3 = Pl + Pl d =174 MPa ( ) 588 MPa r3 d = Kd r3 = A B C P Pl FB l l P h A l/2 EI C l/2 B P h D l A B y z l l x C
10.图示两端固定的圆轴AB,直径d=30mm,由Q235钢制成,材料的弹性模 量E=200GPa,泊松比v=0.3,l=1000mm,CD为刚性臂,a=40m,重 物重P=100N自D处正上方高h=30mmn处自由落下,试用第3强度理论(最 大切应力理论)求危险点处的相当动应力(aa)4 解:T4=TB=Pa=×100×40×10-3=2Nm T=2N.m Pl =25N.m I-M 25N.m 4 M+t 9.46 MPa W 兀×303×10 4p=4c+ca 3EI 2EI Ga=0.537mm K=1+(+2h/4)2=1162,Ga=K4·s=1099MPa MB B 11.图示a=1m,直径d=80mm的等截面直角折杆ABC位于水平面内,B处为 刚结点。重量为P=2kN的重物自B处正上方h=05m处自由落下冲击折杆B 处。已知材料的弹性模量E=200GPa,切变模量G=0.4E,试求: (1)B点的铅直动位移AB (2)危险截面的相当应力(a;)4 iP/ld 解:4c P(2a)3 DS)--77E +(20)+Fa2na)=0 3EI 3EI
167 10. 图示两端固定的圆轴 AB，直径 d = 30mm ，由 Q235 钢制成，材料的弹性模 量 E = 200GPa ，泊松比 = 0.3，l = 1 000 mm ，CD 为刚性臂， a = 40mm ，重 物重 P =100 N 自 D 处正上方高 h = 30mm 处自由落下，试用第 3 强度理论（最 大切应力理论）求危险点处的相当动应力 r3 d ( ) 。 解： 100 40 10 2 N m 2 1 2 1 3 = = = = − TA TB Pa Tmax = 2 Nm 0 2 2 2 = − = EI M l EI l P C C 25 N m 4 = = Pl MC 25 N m 2 4 = − = = Pl l M P M A C 9.46 MPa π 30 10 32 25 2 3 9 2 2 2 max 2 r3 = + = + = − W MC T EI Pl EI M l EI l P Δ C C 3 2 24 2 2 3 3 = − = , 0.537 mm 24 p 3 = + = + a = GI T l EI Pl Δ Δ a AC D C C 1 (1 2 / ) 11.62 2 1 Kd = + + h Δ D = , 109.9 MPa r3d = Kd r3 = 11. 图示 a =1m ，直径 d = 80mm 的等截面直角折杆 ABC 位于水平面内，B 处为 刚结点。重量为 P = 2 kN 的重物自 B 处正上方 h = 0.5m 处自由落下冲击折杆 B 处。已知材料的弹性模量 E = 200GPa ，切变模量 G = 0.4E ，试求： （1）B 点的铅直动位移 Δ B ； （2）危险截面的相当应力 r3 d ( ) 。 P h a d 2a A B C 解： ) 0 2 3 (2 ) 3 ( 3 (2 ) p 3 3 3 = = − + + a GI F a a EI F a EI F a EI P a Δ C C C C A C B P P/2 MB TB P/2 MA TA P/2 MA MC A l C P/2 Pa P h D a C A l B l