超静定系统 1.平面框架受切向分布载荷q,则截面A上的弯矩、 轴力、剪力分别为:M F FsA= 答:0;0;qb 2.图示薄圆环C处为铰链,承受沿环向均布载荷q作 用,已知环内弯曲刚度EI,试证明该环横截面上的弯 矩为零。 证:FC=0,MC=0。只有轴力x1未知且A=0 4 0(1) M(0)=(X,-9R)R(1-cos 0) ar r( 0) 解出X1=qR于是有:M()=0 3.试证明当任意载荷作用于梁ABC的外伸部分时,若AB跨内无任何外载荷, 则截面A上的弯矩在数值上等于截面B上的弯矩之一半 证:将左端固定端解除一个约束使之变为固定铰支座 I AF=6EI gEl 61X1+4F=0 61 ∥2m2 4.刚架的弯曲刚度为EⅠ,承受力F后,支座C有一 下陷量A,试求刚架C处的反力。 解:以C处竖直向上反力X作为多余的约束力 61X1+41=-4 1=,(×1x×-+1×1×D) bEN 4s⊥[F、151k1x、29F 48EI 解得X=29F3E
124 超静定系统 1. 平面框架受切向分布载荷 q，则截面 A 上的弯矩、 轴力、剪力分别为： M A = ， FNA = ， FSA = 。 答：0；0；qb 2. 图示薄圆环 C 处为铰链，承受沿环向均布载荷 q 作 用，已知环内弯曲刚度 EI，试证明该环横截面上的弯 矩为零。 证： FSC = 0, MC = 0 。只有轴力 X1 未知且 = 0 0 1 = = X U （1） （ ） （ ） （ ） 1 cos ( ) 1 cos 1 1 = − = − − R X M M X qR R 解出 X1 = qR 于是有： M（）= 0 3. 试证明当任意载荷作用于梁 A B C 的外伸部分时，若 A B 跨内无任何外载荷， 则截面 A 上的弯矩在数值上等于截面 B 上的弯矩之一半。 证：将左端固定端解除一个约束使之变为固定铰支座 EI l 3 11 = ， EI M l B 6 1F = 11X1 + 1F = 0 11 2 1F 1 M B X = − − = 即 2 B A M M = − 4. 刚架的弯曲刚度为 EI ,承受力 F 后，支座 C 有一 下陷量 ，试求刚架 C 处的反力。 解：以 C 处竖直向上反力 X1 作为多余的约束力 11X1 +1F = − EI l l l l l l l EI 3 4 ) 3 2 2 1 ( 1 3 11 = + = EI Fl l l Fl l l Fl EI 48 29 6 2 5 2 1 2 2 1 3 1F = − = − − 解得 1 3 4 3 64 29 l F EI X = − a a q A b b q q q EI q C R d q C X1 A l B C l/2 F l/2 C B Δ l A F Δ X1
5已知刚架的弯曲刚度为EⅠ。试求刚架支座B处的反9 力F 解:相当系统如图 61X1+4F=0 (%无 q x1dx1+∫a(-90)adx】]=- q 8u=Etox, dx+oa'dx2]= 3EI 解3a(个) 6两刚架由C点铰链连接,已知刚架的弯曲刚度为E/皿H田 试求铰链C处的反力。 解:利用对称条件,由C处切开,可见Fc=0,Mc=0,d 取一半相当系统如图 61X1+4F=0 0(-x)2d. jo u )(x)dx gEl 解得x3 16(<→),实际方向与假设相反 7.已知刚架的弯曲刚度为E/,试求刚架内最大弯 矩及其作用位置。 解:相当系统如图 61X1+4F=0 Er o,dx +oa'dx2+o (x3-a'dxJ= Fa 解得:F=X1=(↑ 6
125 5. 已知刚架的弯曲刚度为 EI 。试求刚架支座 B 处的反 力 FBy。 解：相当系统如图 11X1 +1F = 0 EI q a a x q a x x a q x EI a a 5 ) d ] 6 ) d ( 6 [ ( 1 4 0 0 0 2 2 0 1 1 3 0 1 1F = − + − = − EI a x x a x EI a a 3 4 [ d d ] 1 3 0 2 2 0 1 2 11 = 1 + = 解得 ( ) 20 3 FBy = X1 = q0a 6. 两刚架由 C 点铰链连接，已知刚架的弯曲刚度为 EI 。 试求铰链 C 处的反力。 解：利用对称条件，由 C 处切开，可见 FSC = 0 ，MC = 0， 取一半相当系统如图 11X1 +1F = 0 EI a x x EI a 3 2 ( ) d 2 3 0 2 11 = − = ( ) EI qa x x qa EI a 8 ) d 8 ( 2 4 0 2 1F = − − = 解得 = − (→) 16 3 X1 qa ，实际方向与假设相反。 7. 已知刚架的弯曲刚度为 EI ，试求刚架内最大弯 矩及其作用位置。 解：相当系统如图 11X1 +1F = 0 EI a x x a x x a x EI a a a 3 0 0 2 0 3 2 2 3 2 1 2 11 1 2 [ d d ( ) d ] 1 = + + − = EI Fa Fx x x EI a 3 d 1 3 1F 0 = − = − 解得： ( ) 6 = 1 = F FEy X a a A C B q0 A C B q0 X1 A C B 1 x x1 2 a/2 a/2 C q a A B X1 q 1 a C D a E a a F A B a C D a E a a F A B X1 x1 1 x2 x3
8已知刚架的弯曲刚度为EⅠ。试求刚架支座A的 反力和最大弯矩及其作用位置 E 解:相当系统如图 61X1+4F=0 5Bx+01dx/= Id A田 解得X1=F=8 X 最大弯矩在B截面M= C 9.图示两跨刚架,已知F=60kN,l=6m, 1/2 I EI=3×105kN·m2,试以C处竖直反力作为多余约 束求解此刚架 解:相当系统如图 61X1+4F=0 F F x+』的x(x-1)dx 16El ErRor dx= 2/ 3EI 解得X1=563kN 10.已知结构的弯曲刚度为EⅠ,试求对称轴上A截面 的内力 F 解:根据双对称条件,从4处切开K=0,KM=2 61X1+4F=0 F xdx F ∫o1-dx= 解得X1=MA= F=0.F F/2 126
126 8. 已知刚架的弯曲刚度为 EI 。试求刚架支座 A 的 反力和最大弯矩及其作用位置。 解：相当系统如图 11X1 +1F = 0 EI l x x l x EI l l 3 4 [ d d ] 1 3 0 2 2 1 0 2 11 = 1 + = EI ql l x ql EI l 2 d 2 1 4 0 2 1F = − = − 解得 ( ) 8 3 1 = = ql X FAy 最大弯矩在 B 右截面 2 2 max ql M = 9. 图示两跨刚架，已知 F = 60 kN，l = 6m， 5 2 EI = 310 kNm ，试以 C 处竖直反力作为多余约 束求解此刚架。 解：相当系统如图 11X1 +1F = 0 ( ) EI Fl x x l x F x x F EI l l 16 d ] 2 d 2 [ 1 3 2 0 2 0 2 1F = − + − = − EI l x x EI l 3 2 d 2 3 0 2 11 = = 解得 X1 = 5.63kN 10. 已知结构的弯曲刚度为 EI ，试求对称轴上 A 截面 的内力。 解：根据双对称条件，从 A 处切开 FSA = 0 ， 2 N F F A = 11X1 +1F = 0 EI Fa x x F EI a 4 d 2 1 2 1F 0 = − = − EI a x EI a 2 1 d 2 11 0 = = 解得 8 1 Fa X = M A = ， 2 0, S N F F A = F A = l l l C A B D q C A B D q X1 x1 x2 1 C l/2 A B C F l/2 l l l/2 A B C F l/2 l l X1 2 1 1 F a a a a A F F/2 X1 F/2 X1 F a a a A 1
11.已知刚架的弯曲刚度为EⅠ。试求截面 A处弯矩M4° 解:相当系统如图 61X1+4F=0 1·dx oax dx, +o(qa+qax2-5qr2)dx2 解得x1=12)A址t 法二:利用对称性如图 Fs M 12.已知桁架各杆的拉压刚度为EA,求各杆的轴力。 解:1X1+41=0 F Astana Fic tan a c a l 2 F/sin a-1/sin a 1/cos a -Fl/sin2acos a 1/sin2 a cos a 0 /. tana 解得FN3=X1 +cos'a)F I+cos 'a+sina FN 13.图示平面桁架,已知各杆的拉压刚度为 EA,其中杆1、2、3横截面面积为30cm2, 其余各杆面积为15cm2,a=6m, F=130kN。试求杆2轴力。 解:d1X1+4F=0 127
127 11. 已知刚架的弯曲刚度为 EI 。试求截面 A 处弯矩 M A。 解：相当系统如图 11X1 +1F = 0 EI a x EI a 2 1 d 2 11 0 = = EI qa qx x qa qax qx x EI a a 3 0 0 2 2 2 2 2 1 2 1 F 1 ) d ] 2 1 2 1 d ( 2 1 [ 1 = − = − + + − 解得 ( ) 2 1 2 X1 = qa 法二：利用对称性如图 2 2 , 2 qa FS = qa M A = 12. 已知桁架各杆的拉压刚度为 EA，求各杆的轴力。 解： 11X1 + Δ1F = 0 i FNi F Ni i l i i i F F N l N i F i l 2 ( N ) 1 − Fctan − c tan l 2 − Flc tan c tan l 2 2 F sin −1 sin l cos sin cos 2 − Fl sin cos 2 l 3 0 1 l tan 0 l tan 解得 3 3 3 N3 1 1 cos sin (1 cos ) + + + = = F F X 3 3 2 N1 1 cos sin sin cos + + = − F F ， 3 3 2 N2 1 cos sin sin + + = F F 13. 图示平面桁架，已知各杆的拉压刚度为 EA，其中杆 1、2、3 横截面面积为 30 cm2， 其余各杆面积为 15 cm2，a = 6m, F =130 kN 。试求杆 2 轴力。 解： 11X1 + Δ1F = 0 q q q q a a a a A X1 qa A q q x1 x2 A 1 q q a a A FS FS l F 1 2 3 l F 1 2 3 X1 C 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 A B D E F a a a a F
F , F, FNI()1 E √2F/3 2EA F/3|-1/ a 2EA 0 0 0 F/3 2 2Fa/6 2 EA EA 2Fa/3 EA 1/ a a 0 a Fa/3 EA 10 2 0 0 0 EA 解得F=X1=(8+12)F 3(7+8√2) F-X1=-82.8kN 14.已知桁架各杆的拉压刚度为EA,试求各杆的轴力。 B B 解:1X1+41=0 2 2a(2√2+3) a+ EA√2 EA a+(一 2a+(-)2a]= EA EA 解得X1=(3-2√2)F(拉) FK=Fxn=(2-2)F(压) n=(2-2√2)F(压) FNB=FN=(√2-1)F(拉) 128
128 i FNi F Ni i l i i i F F N l N i F i l 2 ( N ) EAi 1 − 2F 3 0 2a 0 0 2EA 2 − F 3 −1 2 a 2Fa 6 a 2 2EA 3 − 2F 3 0 2a 0 0 2EA 4 F 3 −1 2 a − 2Fa 6 a 2 EA 5 0 1 2a 0 2a EA 6 3 − 2F 1 2a − 2Fa 3 2a EA 7 F −1 2 a − 2Fa 2 2 a EA 8 3 F 0 a 0 0 EA 9 3 2F −1 2 a − 2Fa 3 2 a EA 10 3 2F 0 a 0 0 EA 解得 3(7 8 2) (8 11 2) N5 1 + + = = F F X 82.8 kN 2 1 3 1 FN2 = − F − X1 = − 14. 已知桁架各杆的拉压刚度为 EA，试求各杆的轴力。 解： 11X1 + Δ1F = 0 EA EA a a a a EA 2 (2 2 3) ) 2 ] 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 [( 2 2 2 2 11 + = + − + − + = EA Fa a F a F a F EA Δ − + − = − = − + − )2 ] 2 1 ( 2 ) 2 2 1 )( 2 ) 2 ( 2 1 )( 2 [( 2 1F 解得 X1 = (3 − 2 2)F (拉） FNAD = F NCH = ( 2 − 2)F (压） FNDB = F NBH = (2 − 2 2)F (压） FNAB = F NBC= ( 2 −1)F (拉） C 2 1 3 4 6 7 8 9 10 A B D E F a a a a F X1 X1 2a a F F D H A B C 2a F F D H A B C X1 X1 D H A B C 1 1 -1/ 2 -1/ 2 1/ 2 1/ 2 -1/2 -1/2